北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第2章 导数与微分 第6节 函数的微分

第6节 第二章 盖数的微分 微分的定义 二、 可微与可导的关系 三、微分的几何意义 四、微分的运算法则 五、微分在近似计算中的应用 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、可微与可导的关系 三、微分的几何意义 第6节 一、微分的定义 函数的微分 第二章 四、微分的运算法则 五、微分在近似计算中的应用

一、微分的定义 引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其 边长由xo变到x0+△x,问此薄片面积改变了多少？ 设薄片边长为x,面积为A,则A=x2,当x在x取 得增量△x时，面积的增量为 △M=(x+△x)2-x, △x =2xoAr+(△x) 关于△x的 △x→0时为 A=x行 线性主部 高阶无穷小 故△A≈2x△x 称为函数在xo的微分 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、微分的定义 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A  x 0 x x 面积的增量为 x x 0 2 0 A  x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x 0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 边长由 x  x 其

定义：如果函数y=f(x)在点xo的增量可表示为 △y=f(x0+△x)-f(xo)=A△x+O(△x) (A是不依赖于△x的常数) 则称函数y=f(x)在点x可微，而A△x称为f(x)在 点x的微分，记作dy,即 dy=A△x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 的微分, 定义: 如果函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 是不依赖于△x 的常数) 则称函数 y  f (x) 而 Ax 称为 记作 ，即 dy  Ax  Ax  o(x) 在点 可微

二、可微与可导的关系 定理：函数y=f(x)在点xo可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导，且A=f'(x),即 dy=f'(xo)△x 证：“必要性” 已知y=f(x)在点x可微，则 △y=f(x,+△x)-f(x)=A△x+o(△x) lim Ay=m(4+=4 △x→0△X △x>0 ΛX 故y=f(x)在点x,可导，且'(x,)=A BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0  y  f x  x  f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x             A 故  Ax  o(x) 在点 可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy  f (x )x 0 二、可微与可导的关系

定理：函数y=f(x)在点x,可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导，且A=f'(x),即 dy=f'(xo)△x “充分性”己知y=f(x)在点x,可导，则 lim Ay=f(x,） △x-0△x f'(xo)+a (lima=0） △x-→0 故△y=f'(x)△x+aAx=∫'(x)Ax+O(△x) f'(x,)≠0时 即dy=f'(xo)△x 此项为y的 线性主部 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy  f (x )x 0 “充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x             ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0    x y  f (x )x x 故 0 ( ) ( ) 0  f  x x  o x 即 dy  f (x )x 0 在点 可导, 则

说明：△y=∫'(xo)△x+o(Ax) dy=f'(xo)△x 当f'(x)≠0时， lim △y= lim △y x0dy x-0f'(x0)△x 1 lim △y =1 f(xo)Ax-0 Ax 所以△x→0时△y与dy是等价无穷小，故当△x 很小时，有近似公式 △y≈dy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明: f (x0 )  0 时 , dy  f (x )x 0 ( ) ( ) 0 y  f  x x  o x y y x d lim 0    f x x y x       ( ) lim 0 0 x y f x x      0 0 lim ( ) 1 1 所以 x  0 时 y dy 很小时, 有近似公式 x y  dy 与 是等价无穷小, 当 故当

三、微分的几何意义 微分的几何意义一 切线纵坐标的增量 dy=f'(xo)△x=tana·△x 当△x很小时，△y≈dy y=f(x)/ 当y=x时， 公 △y=△x兰dx xo 称△x为自变量的微分，记作dx x0+△x 则有 dy=f(x)dx 从而 =f'(x) 导数也叫作微商 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 微分的几何意义 dy  f (x )x 0 x  x 0 x y O y  f (x)  0 x y  tan x dy 当 x 很小时, y  dy 当y  x 时， 则有 dy  f (x)dx 从而 ( ) d d f x x y   导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 称x为 自变量的微分, 记作 dx y  x  dx 记 三、微分的几何意义

例如，y=x3, dy =2 =3x2.dx x=2 =0.24 dx=0.02 dx=0.02 又如，y=arctanx, dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例如, , 3 y  x dy d 0.02 2   x x 2  3x dx d 0.02 2   x x  0.24 y  arctan x , dy x x d 1 1 2   又如

四、微分的运算法则 设u(x),v(x)均可微，则 l.d(u±vy)=dhu士d 2.d(Cu）=Cdu (C为常数 3.d(uv)vdu+udv 4.d)= vdu udv (v≠0) 2 5.复合函数的微分法则 y=f(),u=p(x)分别可微， 则复合函数y=[(x)]的微分为 dy ydx f(u)p'(x)dx dy f(u)du 微分形式不变 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 四、 微分的运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为  f (u)(x)dx du dy  f (u)du 微分形式不变 5. 复合函数的微分法则 则复合函数  du  dv  vdu  udv

例2.6.3求函数y=nsim2x的微分. 第：的-的a2动24n2 cos 2xd(2x) =20s2 d x 2cot 2xd x. sin 2x 例2.6.4求函数y=x4-nx+3x的微分. 解：dy=dx-dhx)+d3=4xdx-1dx+3h3dx X =(4x3-1+3h3)dx X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例2.6.3 求函数 的微分. 解: cos 2 d(2 ) sin 2 1 d(sin 2 ) sin 2 1 d d(ln sin 2 ) x x x x x y  x   d 2cot 2 d . sin 2 cos 2 2 x x x x x   例2.6.4 求函数 的微分. 解: x x x y x x x x x x d 3 ln 3d 1 d d d(ln ) d3 4 d 4 3       3 ln 3)d . 1 (4 3 x x x x   