同济大学：《复变函数和积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）习题选讲1（复数的四则运算、复数的幂与根）

目录》 01 复数的四则运算 CONTENTS 02 复数的幂与根

目 录 CONTENTS 01 复数的四则运算 02 复数的幂与根

复数运算的要点 代数形式、三角形式与指数形式的互化 四侧运算的运算定义，以及与三种形式的关系 实部与虚部、模、幅角与其主值、共轭复数，以及与四则运算的关系 ·幂与根的运算

复数运算的要点 • 代数形式、三角形式与指数形式的互化 • 四则运算的运算定义，以及与三种形式的关系 • 实部与虚部、模、幅角与其主值、共轭复数，以及与四则运算的关系 • 幂与根的运算

01 PART 复数的四则运算

复数的四则运算 01 PART

例题 例1证明平行四边形的四条边长度的平方和等于两条对角线长度的平 方和. 证明设平行四边形的四个顶点分别为原点，2乙1,22以及z1+22,从而 两条对角线长度的平方和为☑1+222+☑1-222，于是 |☑+2212+|☑-212=(z+22)(☑+22)+(3-2)(a-z2) =(3+22)(i+五)+(a-22)(a-五)=2(21五+22五)=2(I☑2+2212)， 证毕. + 1+22 0

例题 例1 证明平行四边形的四条边长度的平方和等于两条对角线长度的平 方和． 证明 设平行四边形的四个顶点分别为原点，𝑧1，𝑧2 以及 𝑧1 + 𝑧2，从而 两条对角线长度的平方和为 𝑧1 + 𝑧2 2 + 𝑧1 − 𝑧2 2，于是 𝑧1 + 𝑧2 2 + 𝑧1 − 𝑧2 2 = 𝑧1 + 𝑧2 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧1 − 𝑧2 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2 𝑧ഥ1 + 𝑧ഥ2 + 𝑧1 − 𝑧2 𝑧ഥ1 − 𝑧ഥ2 =2(𝑧1 𝑧ഥ1+𝑧2 𝑧ഥ2 )=2(|𝑧1| 2+|𝑧2 | 2 )， 证毕．

例题 例2证明四边形两组对边长度乘积的和大于等于两条对角线长度的乘 积. 证明设四边形的四个顶点分别为原点，21,2以及23，从而两组对边长 度乘积的和为z1z2-z3l+|z2-21lz3,于是 22 zallz2-z3+122-zllz3l 23 =2122-乙123+2223-21232(z12-2123)-(2223-2123) =|z122-2223|=|z2l|z1-z3l, 证毕

例题 例2 证明四边形两组对边长度乘积的和大于等于两条对角线长度的乘 积． 证明 设四边形的四个顶点分别为原点，𝑧1，𝑧2 以及 𝑧3，从而两组对边长 度乘积的和为 𝑧1 𝑧2 − 𝑧3 + 𝑧2 − 𝑧1 𝑧3 ，于是 𝑧1 𝑧2 − 𝑧3 + 𝑧2 − 𝑧1 𝑧3 = 𝑧1𝑧2 − 𝑧 1 𝑧3 + 𝑧2𝑧3 − 𝑧1𝑧3 ≥ 𝑧1𝑧2 − 𝑧 1 𝑧3 − (𝑧2𝑧3 − 𝑧1𝑧3) = 𝑧1𝑧2 − 𝑧2𝑧3 = 𝑧2 𝑧1 − 𝑧3 ， 证毕．

例题 例3证明平面上直线方程可以等价地写为Bz+Bz+C=0,其中B≠ 0,C∈R. 证明平面上直线的标准方程为ax+by+c=0,将x=李和y= 代入，得 ++e-0+c=(侣+（传+9） a b +c=0, 令B=+号，C=c即可.反之，Bz+Bz+C=0等价于2ReBz+ C=0,令B=是+受，2=x+y代入即得直线的标准方程

例题 例3 证明平面上直线方程可以等价地写为 𝐵ത𝑧 + 𝐵𝑧ҧ+ 𝐶 = 0，其中 𝐵 ≠ 0，𝐶 ∈ 𝐑． 证明 平面上直线的标准方程为 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0，将 𝑥 = 𝑧+𝑧ҧ 2 和 𝑦 = 𝑧−𝑧ҧ 2𝑖 代入，得 𝑎 2 𝑧 + 𝑧ҧ + 𝑏 2𝑖 𝑧 − 𝑧ҧ + 𝑐 = 𝑎 2 − 𝑖𝑏 2 𝑧 + 𝑎 2 + 𝑖𝑏 2 𝑧ҧ+ 𝑐 = 0， 令 𝐵 = 𝑎 2 + 𝑖𝑏 2 ，𝐶 = 𝑐 即可．反之，𝐵ത𝑧 + 𝐵𝑧ҧ+ 𝐶 = 0 等价于 2Re 𝐵𝑧ҧ+ 𝐶 = 0，令 𝐵 = 𝑎 2 + 𝑖𝑏 2 ，𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 代入即得直线的标准方程．

例题 例4证明平面上圆周的方程可以等价地写为Azz+Bz+Bz+C=0,其 中A,C∈R且A≠0，IBI2-AC>0. 证明设圆周的圆心为z0,半径为r,故其方程为z-z0=r,等价于 r2=(z-z0)(z-)=z2-Z02-20z+20, 即zz-202-02+(z02五-r2)=0.令A=1,B=-20,C=20- r2即可. 反之，Azz+Bz+Bz+C=0(A≠0)可等价写为 +营++0+。丽-++册 Z+ 0

例题 例4 证明平面上圆周的方程可以等价地写为 𝐴𝑧𝑧ҧ+ 𝐵ത𝑧 + 𝐵𝑧ҧ+ 𝐶 = 0，其 中 𝐴, 𝐶 ∈ 𝐑 且 𝐴 ≠ 0， 𝐵 2 − 𝐴𝐶 > 0． 证明 设圆周的圆心为 𝑧0，半径为 𝑟，故其方程为 𝑧 − 𝑧0 = 𝑟，等价于 𝑟 2 = 𝑧 − 𝑧0 𝑧ҧ− 𝑧ഥ0 = 𝑧𝑧ҧ− 𝑧0𝑧ҧ− 𝑧0𝑧ҧ+ 𝑧0𝑧ഥ0， 即 𝑧𝑧ҧ− 𝑧0𝑧ҧ− 𝑧ഥ0𝑧 + (𝑧0𝑧ഥ0 − 𝑟 2 ) = 0．令 𝐴 = 1，𝐵 = −𝑧0，𝐶 = 𝑧0𝑧ഥ0 − 𝑟 2 即可． 反之，𝐴𝑧𝑧ҧ+ 𝐵ത𝑧 + 𝐵𝑧ҧ+ 𝐶 = 0 (𝐴 ≠ 0) 可等价写为 𝑧𝑧ҧ+ 𝐵ത 𝐴 𝑧 + 𝐵 𝐴 𝑧ҧ+ 𝐵𝐵ത 𝐴2 + 𝐴𝐶 − 𝐵𝐵ത 𝐴2 = 𝑧 + 𝐵 𝐴 𝑧ҧ+ 𝐵ത 𝐴 + 𝐴𝐶 − 𝐵𝐵ത 𝐴2 = 0

例题 于是当A,C∈R且IB12-AC>0,上述方程等价于2+=、 Bl2-AC A2 这是以-号为园心，、“为半径的园周。 注由这两个例子可以得到，在复平面内上，圆周和直线的方程可统一写 为Azz+Bz+Bz+C=0,其中A,C∈R且IBI2-AC>0

例题 于是当 𝐴, 𝐶 ∈ 𝑅 且 𝐵 2 − 𝐴𝐶 > 0，上述方程等价于 𝑧 + 𝐵 𝐴 = 𝐵 2−𝐴𝐶 𝐴2 ， 这是以 − 𝐵 𝐴 为圆心， 𝐵 2−𝐴𝐶 𝐴2 为半径的圆周． 注 由这两个例子可以得到，在复平面内上，圆周和直线的方程可统一写 为 𝐴𝑧𝑧ҧ+ 𝐵ത𝑧 + 𝐵𝑧ҧ+ 𝐶 = 0，其中 𝐴, 𝐶 ∈ 𝑅 且 𝐵 2 − 𝐴𝐶 > 0．

02 PART 复数的幂与根

复数的幂与根 02 PART

例题 例5计算(V3-)20 解将V3-i转化为指数形式.V3-=2,而arctan(-)=-, V3-i在第四象限，故arg(V3-)=-g,从而V3-i=2e5,于是 5-02m-2e晋2m(←）=-2”+w. 注计算复数的幂，应尽量使用三角形式或指数形式，利用代数形式计 算幅角时，需同时利用复数所在象限和相应反正切函数的值·

例题 例5 计算 3 − 𝑖 100． 解 将 3 − 𝑖 转化为指数形式． 3 − 𝑖 = 2，而arctan − 1 3 = − π 6， 3 − 𝑖 在第四象限，故 arg 3 − 𝑖 = − 𝜋 6 ，从而 3 − 𝑖 = 2𝑒 − 𝑖𝜋 6，于是 3 − 𝑖 100 =2 100𝑒 − 𝑖100𝜋 6 =2 100𝑒 − 𝑖2𝜋 3 =2 100 − 1 2 − 𝑖 3 2 = −2 99 1 + 𝑖 3 ． 注 计算复数的幂，应尽量使用三角形式或指数形式，利用代数形式计 算幅角时，需同时利用复数所在象限和相应反正切函数的值．