同济大学：《复变函数和积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）4-2-Laplace变换

01 Laplace变换 目录》 02 Laplace变换的运算性质 CONTENTS 03 Laplace逆变换

01 Laplace 变换 目 录 CONTENTS 02 Laplace 变换的运算性质 03 Laplace 逆变换

01 PART Laplace变换

Laplace 变换 01 PART

Laplace变换 定义对定义在(0，+∞)上的函数f(t),称关于实变量s的函数 +00 F(=∫foea 为f(t)的Laplace变换，e-st称为Laplace变换的核，F(s)也记作 [f(t)]

Laplace 变换 定义 对定义在 0, +∞ 上的函数 𝑓(𝑡)，称关于实变量 𝑠 的函数 𝐹 𝑠 = න 0 +∞ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡d𝑡 为 𝑓(𝑡) 的 Laplace 变换，𝑒 −𝑠𝑡 称为 Laplace 变换的核，𝐹 𝑠 也记作 L 𝑓(𝑡) ．

注解 注1 Laplace变换将函数f(t)变换为F(s),因此Laplace变换也可看作函 数到函数的映射，称F(s)为f(t)的像函数，f(t)为F(s)的原像函数· 注2一般地，通过积分实现的函数到函数的映射 十00 f(t)F(s)= K(s,t)f(t)dt 统称为积分变换，K(s,t)称为积分变换的核.Fourier变换和Laplace变 换都是积分变换，选取不同的核，就得到不同的积分变换. 注3满足If(t川≤MeAt(M,A均为实常数)的函数就可以定义Laplace变 换，该条件比绝对可积条件弱得多.可以证明，此时像函数F(s)在区域 Res>A)上解析

注解 注1 Laplace 变换将函数 𝑓(𝑡) 变换为 𝐹 𝑠 ，因此 Laplace 变换也可看作函 数到函数的映射，称 𝐹 𝑠 为 𝑓(𝑡) 的像函数，𝑓 𝑡 为 𝐹 𝑠 的原像函数． 注2 一般地，通过积分实现的函数到函数的映射 𝑓 𝑡 ↦ 𝐹 𝑠 = න −∞ +∞ 𝐾 𝑠,𝑡 𝑓 𝑡 d𝑡 统称为积分变换，𝐾 𝑠,𝑡 称为积分变换的核．Fourier 变换和 Laplace 变 换都是积分变换，选取不同的核，就得到不同的积分变换． 注3 满足 𝑓 𝑡 ≤ 𝑀𝑒 𝐴𝑡 （𝑀, 𝐴 均为实常数）的函数就可以定义 Laplace 变 换，该条件比绝对可积条件弱得多．可以证明，此时像函数 𝐹 𝑠 在区域 Re 𝑠 > 𝐴 上解析．

例题 例1求f(t)=1的Laplace变换. 解根据定义，当Res>0时， +00 e-stt=too P=e=- 0 t=0 例2求f(t)=et的Laplace变换，这里au为复常数. 解根据定义，当Res>Rea时， +0∞ e-(s-ag)tt=+o∞ F(s)=& s-a s-a 0 三0

例题 例1 求 𝑓 𝑡 = 1 的 Laplace 变换． 解 根据定义，当 Re 𝑠 > 0 时， 𝐹 𝑠 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑠𝑡d𝑡 = − อ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑠 𝑡=0 𝑡=+∞ = 1 𝑠 ． 例2 求 𝑓 𝑡 = 𝑒 𝛼𝑡 的 Laplace 变换，这里 𝛼 为复常数． 解 根据定义，当 Re 𝑠 > Re 𝛼 时， 𝐹 𝑠 = න 0 +∞ 𝑒 𝛼𝑡𝑒 −𝑠𝑡d𝑡 = − อ 𝑒 −(𝑠−𝛼)𝑡 𝑠 − 𝛼 𝑡=0 𝑡=+∞ = 1 𝑠 − 𝛼 ．

例题 例3求f(t)=tn的Laplace变换，这里n为正整数 解根据定义，当Res>0时， +00 tne-stt=+o +00 n F(S)= tne-stdt=- 十 tn-le-stdt s t=0 +00 0 一 tn-ie-stdt. S 0 由归纳法不难得到，F(s)=州 sn+i 注通常像函数F(s)经常可以解析延拓到更大的区域，在表述中也不再 提及使得定义式中广义积分收敛的区域

例题 例3 求 𝑓 𝑡 = 𝑡 𝑛 的 Laplace 变换，这里 𝑛 为正整数． 解 根据定义，当 Re 𝑠 > 0 时， 𝐹 𝑠 = න 0 +∞ 𝑡 𝑛 𝑒 −𝑠𝑡d𝑡 = − อ 𝑡 𝑛 𝑒 −𝑠𝑡 𝑠 𝑡=0 𝑡=+∞ + 𝑛 𝑠 න 0 +∞ 𝑡 𝑛−1 𝑒 −𝑠𝑡d𝑡 = 𝑛 𝑠 න 0 +∞ 𝑡 𝑛−1 𝑒 −𝑠𝑡d𝑡 ． 由归纳法不难得到，𝐹 𝑠 = 𝑛! 𝑠 𝑛+1 ． 注 通常像函数 𝐹 𝑠 经常可以解析延拓到更大的区域，在表述中也不再 提及使得定义式中广义积分收敛的区域．

02 PART Laplace变换的运算性质

Laplace 变换的运算性质 02 PART

运算性质 线性性质L[l1f(t)+l2f2(t)]=l1F1(s)+l2F2(s),其中1l2∈C. 位移性质L[eatf(t)]=F(s-a),其中a∈C. 相似性质L[f(kt=F(月)，其中k为非零实数. 延迟性质若对一切t0. 卷积性质若斤，方的卷积规定为丘*2()=(t-)f2()dr, L*f(t))=F(s)F2(s). 导数性质记f(0)=1imf(t),则L[f'(t)]=sF(s)-f(0)· t04

运算性质 线性性质 L 𝑙1𝑓1 𝑡 + 𝑙2𝑓2 𝑡 = 𝑙1𝐹1(𝑠) + 𝑙2𝐹2(𝑠)，其中 𝑙1, 𝑙2 ∈ 𝐂． 位移性质 L 𝑒 𝑎𝑡𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠 − 𝑎)，其中 𝑎 ∈ 𝐂． 相似性质 L 𝑓 𝑘𝑡 = 1 𝑘 𝐹 𝑠 𝑘 ，其中 𝑘 为非零实数． 延迟性质 若对一切 𝑡 0． 卷积性质 若 𝑓1，𝑓2 的卷积规定为 𝑓1 ∗ 𝑓2 𝑡 = ׬0 𝑡 𝑓1 𝑡 − 𝜏 𝑓2 𝜏 d𝜏， 则 L 𝑓1 ∗ 𝑓2 𝑡 = 𝐹1 𝑠 𝐹2(𝑠)． 导数性质 记 𝑓 0 = lim 𝑡→0+ 𝑓(𝑡)，则 L 𝑓 ′ 𝑡 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0)．

例题 例1求f(t)=cosBt和g(t)=sin Bt的Laplace变换. 解根据Euler公式， cosBt= eiBtte-iBt eiBt-e-iBt 2 -sin Bt 2i 再根据指数函数的Laplace变换公式和线性性质，得 1 s+i邛， s2+B2' β -s2+B2· 例2求f(t)=eat cosBt和g(t)=eat sinBt的Laplace变换. 解根据位移性质以及上题结果F()=6+,G()= s-a B (S-a)2+B2

例题 例1 求 𝑓 𝑡 = cos 𝛽𝑡 和 𝑔 𝑡 = sin 𝛽𝑡 的 Laplace 变换． 解 根据 Euler 公式， cos𝛽𝑡 = 𝑒 𝑖𝛽𝑡 + 𝑒 −𝑖𝛽𝑡 2 , sin 𝛽𝑡 = 𝑒 𝑖𝛽𝑡 − 𝑒 −𝑖𝛽𝑡 2𝑖 , 再根据指数函数的 Laplace 变换公式和线性性质，得 𝐹 𝑠 = 1 2 1 𝑠 − 𝑖𝛽 + 1 𝑠 + 𝑖𝛽 = 𝑠 𝑠 2 + 𝛽2 ， 𝐺 𝑠 = 1 2𝑖 1 𝑠 − 𝑖𝛽 + 1 𝑠 + 𝑖𝛽 = 𝛽 𝑠 2 + 𝛽2． 例2 求 𝑓 𝑡 = 𝑒 𝛼𝑡 cos 𝛽𝑡 和 𝑔 𝑡 = 𝑒 𝛼𝑡 sin 𝛽𝑡 的 Laplace 变换． 解 根据位移性质以及上题结果 𝐹 𝑠 = 𝑠−𝛼 (𝑠−𝛼) 2+𝛽2，𝐺 𝑠 = 𝛽 (𝑠−𝛼) 2+𝛽2 ．

03 PART Laplace逆变换

Laplace 逆变换 03 PART