同济大学:《复变函数和积分变换》课程教学资源(PPT课件讲稿)1-1-复数及其四则运算

目录》 01 复数的定义 CONTENTS 02 复数的四则运算
目 录 CONTENTS 01 复数的定义 02 复数的四则运算

01 PART 复数的定义
复数的定义 01 PART

为什么要写引进复数? 计数的需要,引进自然数 为了解决自然数不能小数减大数的问题,引进负数 为了解决整数不能整除情形下的除法定义问题,引进有理数 为了解决有理数的开方问题,以及某些几何量不是有理数,引进实数 为了解决负数不能开平方的问题,引进复数
为什么要引进复数? • 计数的需要,引进自然数 • 为了解决自然数不能小数减大数的问题,引进负数 • 为了解决整数不能整除情形下的除法定义问题,引进有理数 • 为了解决有理数的开方问题,以及某些几何量不是有理数,引进实数 • 为了解决负数不能开平方的问题,引进复数

复数的定义 定义形如z=x+iy的数称为复数,这里x,y∈R.x称为z的实部,记 为Rez,y称为z的虚部,记为lImz,i称为虚数单位 注1全体复数的集合记为C.当y=0时,将x+0与实数x等同,在这 一意义下,实数集R可以看作复数集C的子集. 注2当x=0时,将0+iy简记为y,若此时y≠0,则y称为纯虚数. 定义两个复数x1+iy1和x2+iy2称为相等的,当且仅当x1=x2且y1= y2 ·
复数的定义 定义 形如 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 的数称为复数,这里 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐑. 𝑥 称为 z 的实部,记 为 Re z,y 称为 z 的虚部,记为 Im z, 𝑖 称为虚数单位. 注1 全体复数的集合记为 𝐂.当 y = 0 时,将 𝑥 + 𝑖0 与实数 𝑥 等同,在这 一意义下,实数集 𝐑 可以看作复数集 𝐂 的子集. 注2 当 𝑥 = 0 时,将 0 + 𝑖𝑦 简记为 𝑖𝑦,若此时 𝑦 ≠ 0,则 𝑖𝑦 称为纯虚数. 定义 两个复数 𝑥1 + 𝑖𝑦1 和 𝑥2+𝑖𝑦2 称为相等的,当且仅当 𝑥1= 𝑥2 且 𝑦1 = 𝑦2.

02 PART 复数的四则运算
复数的四则运算 02 PART

加法和乘法 定义对两个复数z1=x1+y1和z2=x2+iy2,定义加法和乘法如下 Z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2): Z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y). 注复数的加法和乘法,形式上等同于将复数看作关于的多项式,进行加 法与乘法,并将2替换为一1·虚数单位i的引入,解决了负数在实数范 围内不能开平方的问题
加法和乘法 定义 对两个复数 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 和 𝑧2 = 𝑥2+𝑖𝑦2,定义加法和乘法如下 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑖 𝑦1 + 𝑦2 ; 𝑧1𝑧2 = 𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2 + 𝑖 𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1 . 注 复数的加法和乘法,形式上等同于将复数看作关于 𝑖 的多项式,进行加 法与乘法,并将 𝑖 2 替换为 −1 .虚数单位 𝑖 的引入,解决了负数在实数范 围内不能开平方的问题.

数域 定理复数关于加法和乘法满足以下性质 (1)加法交换律:Z1+z2=22+21; (2)加法结合律:(亿1+22)+23=21+(22+23); (3)有零元素:对任何z,0+z=z; (4)有负元素:对任何z,存在-z,使得z+(-z)=0; (5)乘法交换律:2122=22z1氵 (6)乘法结合律:(21z2)z3=z1(z223);
数域 定理 复数关于加法和乘法满足以下性质 (1) 加法交换律:𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧2 + 𝑧1; (2) 加法结合律:(𝑧1 + 𝑧2) + 𝑧3 = 𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3); (3) 有零元素:对任何 𝑧, 0 + 𝑧 = 𝑧; (4) 有负元素:对任何 𝑧,存在 −𝑧,使得 𝑧 + −𝑧 = 0; (5) 乘法交换律:𝑧1𝑧2 = 𝑧2𝑧1; (6) 乘法结合律:(𝑧1𝑧2)𝑧3 = 𝑧1(𝑧2𝑧3);

数域(续) (7有单位元:对任何z,1z=z; (8)有逆元:对任何z≠0,存在z1,使得zz-1=1; (9)分配律:Z1(Z2+23)=21z2+z123· 证明只证明(4)与(8),其他直接验证易得.事实上对z=x+y,可取 -z=(-x)+i(-y),z-1= 一y 注z~1的选取,采用了分母实数化的想法
数域(续) (7) 有单位元:对任何 𝑧, 1𝑧 = 𝑧; (8) 有逆元:对任何 𝑧 ≠ 0,存在 𝑧 −1,使得 𝑧𝑧 −1 = 1; (9) 分配律:𝑧1(𝑧2 + 𝑧3) = 𝑧1𝑧2 + 𝑧1𝑧3. 证明 只证明 (4) 与 (8),其他直接验证易得.事实上对 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦,可取 −𝑧 = −𝑥 + 𝑖 −𝑦 ,𝑧 −1 = 𝑥 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑖 −𝑦 𝑥 2 + 𝑦 2 . 注 𝑧 −1 的选取,采用了分母实数化的想法.

数域(续) 根据这一定理,可定义复数的减法和除法如下 z1-z2=21+(-22), =1221, Z2 其中在除法的定义式中,要求除数不为零 注对四则运算都封闭的数集,称为数域.特别,有理数集、实数集和复数 集都是数域,但整数集不是数域,因为整数对除法运算不是封闭的
数域(续) 根据这一定理,可定义复数的减法和除法如下 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 + −𝑧2 , 𝑧1 𝑧2 = 𝑧1𝑧2 −1 , 其中在除法的定义式中,要求除数不为零. 注 对四则运算都封闭的数集,称为数域.特别,有理数集、实数集和复数 集都是数域,但整数集不是数域,因为整数对除法运算不是封闭的.

共轭复数 定义对复数z=x+iy,定义z=x-y,称为z的共轭复数. 定理共轭运算满足以下性质: (1)Z1+z2=五+五2,z1z五=Z五; (2)z1=z-1; (3)艺=z; ④Rez=g,mz=受; (5)z∈R,当且仅当z=z
共轭复数 定义 对复数 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦,定义 𝑧ҧ= 𝑥 − 𝑖𝑦,称为 𝑧 的共轭复数. 定理 共轭运算满足以下性质: (1) 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧ഥ1 + 𝑧ഥ2,𝑧1𝑧2 = 𝑧ഥ1𝑧ഥ2; (2) 𝑧ҧ −1 = 𝑧 −1; (3) 𝑧ҧҧ= 𝑧; (4) Re 𝑧 = 𝑧+𝑧ҧ 2 ,Im 𝑧 = 𝑧−𝑧ҧ 2𝑖 ; (5) 𝑧 ∈ 𝐑,当且仅当 𝑧 = 𝑧ҧ.
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