同济大学：《复变函数和积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）2-2-复导数

01 复变函数的导数 目录》 02 Cauchy-Riemann方程 CONTENTS 03 解析函数

01 复变函数的导数 目 录 CONTENTS 02 Cauchy-Riemann方程 03 解析函数

01 PART 复变函数的导数

复变函数的导数 01 PART

导数的定义 定义对定义在区域D内的函数f,如果极限 f(z+△z)-f(z) lim △z→0 △z 存在，则称f在点z可导，该极限称为f在点z的导数，记作'(z)或 出.f)可看作定义在使得f可导的点构成的集合上的函数.当f在 区域D内点点可导时，也称f在区域D内可导

导数的定义 定义 对定义在区域 𝐷 内的函数 𝑓，如果极限 lim Δ𝑧→0 𝑓 𝑧 + Δ𝑧 − 𝑓 𝑧 Δ𝑧 存在，则称 𝑓 在点 𝑧 可导，该极限称为 𝑓 在点 𝑧 的导数，记作 𝑓′(𝑧) 或 d𝑓 d𝑧 ．𝑓′(𝑧) 可看作定义在使得 𝑓 可导的点构成的集合上的函数．当 𝑓 在 区域 𝐷 内点点可导时，也称 𝑓 在区域 𝐷 内可导．

导数的运算性质 定理若函数f(z)在点zo可导，则f(z)在点zo连续. 定理若函数f(z)和g(z)都可导，则 (1)(f(z)±g(z)'=f'(z)±g(z); (2)对一切复常数c,(cf(z)'=cf'(z); (3)(f(z)g(z)'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z); ④若g②）+0，则(G%)'=@0gfag@ g2(z)

导数的运算性质 定理 若函数 𝑓(𝑧) 在点 𝑧0 可导，则 𝑓(𝑧) 在点 𝑧0 连续． 定理 若函数 𝑓(𝑧) 和 𝑔(𝑧) 都可导，则 (1) 𝑓 𝑧 ± 𝑔 𝑧 ′ = 𝑓′ 𝑧 ± 𝑔′ 𝑧 ； (2) 对一切复常数 𝑐， 𝑐𝑓 𝑧 ′ = 𝑐𝑓′ 𝑧 ； (3) 𝑓 𝑧 𝑔 𝑧 ′ = 𝑓′ 𝑧 𝑔 𝑧 + 𝑓(𝑧)𝑔′ 𝑧 ； (4) 若 𝑔 𝑧 ≠ 0，则 𝑓 𝑧 𝑔 𝑧 ′ = 𝑓 ′ 𝑧 𝑔 𝑧 −𝑓 𝑧 𝑔 ′ 𝑧 𝑔2 𝑧 ．

导数的运算性质 复合函数求导的链式法则若函数f(z)和g(z)都可导，且f(z)的值域 包含在g(a)的定义域中，则。g(f(z)=g'(f(z)f'(za)· 反函数求导法则设定义在区域D内的函数w=f(z)存在反函数z= pw),且fa)可导，则fa≠0，且p(w)=7d 注与实变量函数的反函数求导法则相比，“导数不等于零”由条件变为 结论，这一结论的证明需要用到Rouché定理.这一差别揭示了复变函 数可导包含了更丰富的内容

导数的运算性质 复合函数求导的链式法则 若函数 𝑓(𝑧) 和 𝑔(𝑧) 都可导，且 𝑓(𝑧) 的值域 包含在 𝑔(𝑧) 的定义域中，则 d d𝑧 𝑔 𝑓 𝑧 = 𝑔′ 𝑓 𝑧 𝑓′(𝑧)． 反函数求导法则 设定义在区域 𝐷 内的函数 𝑤 = 𝑓 𝑧 存在反函数 𝑧 = 𝜑 𝑤 ，且 𝑓 𝑧 可导，则 𝑓′ 𝑧 ≠ 0，且 𝜑′ 𝑤 = 1 𝑓′(𝜑 𝑤 ) ． 注 与实变量函数的反函数求导法则相比，“导数不等于零”由条件变为 结论，这一结论的证明需要用到 Rouché 定理．这一差别揭示了复变函 数可导包含了更丰富的内容．

例题 例当n为整数时，研究zn的可导性. 解当n=0时，(z)'=1'=0. 当n为正整数时，由导数定义以及二项式定理，有 (z+△z)n-z =nzn-1+o(△z) △z 从而(z)'=nzn-1.再根据商的求导法则，对一切z≠0，得 y=( -nzn-1 z2m-=-nz-n-1, 综上所述，对一切整数n,有(z)'=nzn-1

例题 例 当 𝑛 为整数时，研究 𝑧 𝑛 的可导性． 解 当 𝑛 = 0 时， 𝑧 0 ′ = 1′ = 0． 当 𝑛 为正整数时，由导数定义以及二项式定理，有 𝑧 + Δ𝑧 𝑛 − 𝑧 𝑛 Δ𝑧 = 𝑛𝑧 𝑛−1 + 𝑜(Δ𝑧) 从而 𝑧 𝑛 ′ = 𝑛𝑧 𝑛−1．再根据商的求导法则，对一切 𝑧 ≠ 0，得 𝑧 −𝑛 ′ = 1 𝑧 𝑛 ′ = −𝑛𝑧 𝑛−1 𝑧 2𝑛 = −𝑛𝑧 −𝑛−1． 综上所述，对一切整数 𝑛，有 𝑧 𝑛 ′ = 𝑛𝑧 𝑛−1．

02 PART Cauchy-Riemann方程

Cauchy-Riemann 方程 02 PART

函数可导的必要条件 记△z=△x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)· 令△y=0,△x→0，则 f(z+△z)-f(z) △Z [x+Ax,)-u6x,0）+i(px+A,)-(x,0l→4+im 1 1 令△x=0,△y→0，则 f(z+△z)-f(z) △z 【(u6xy+ay-ux》+i(xy+a)-x,】-y-iy 1

函数可导的必要条件 记 Δ𝑧 = Δ𝑥 + 𝑖Δ𝑦，𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣 𝑥, 𝑦 ． 令 Δy = 0，Δ𝑥 → 0，则 𝑓 𝑧 + Δ𝑧 − 𝑓 𝑧 Δ𝑧 = 1 Δ𝑥 𝑢 𝑥 + Δ𝑥, 𝑦 − 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖 𝑣 𝑥 + Δ𝑥, 𝑦 − 𝑣 𝑥, 𝑦 → 𝑢𝑥 + 𝑖𝑣𝑥 令 Δ𝑥 = 0，Δ𝑦 → 0，则 𝑓 𝑧 + Δ𝑧 − 𝑓 𝑧 Δ𝑧 = 1 𝑖Δ𝑦 𝑢 𝑥, 𝑦 + Δ𝑦 − 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖 𝑣 𝑥, 𝑦 + Δ𝑦 − 𝑣 𝑥, 𝑦 → 𝑣𝑦 − 𝑖𝑢𝑦

函数可导的判定与导数的计算 定理函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy处可导，则u(x,y)和 v(x,y)满足Cauchy-Riemann方程 ux=y,uy=一x, 此时f'(z)=ux+ivx·反之，若u(x,y)和v(x,y)可微且满足 Cauchy-Riemann方程，则f(z)在z=x+iy处可导

函数可导的判定与导数的计算 定理 函数 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣 𝑥, 𝑦 在 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 处可导，则 𝑢(𝑥, 𝑦) 和 𝑣(𝑥, 𝑦) 满足 Cauchy-Riemann 方程 𝑢𝑥 = 𝑣𝑦，𝑢𝑦 = −𝑣𝑥， 此时 𝑓′ 𝑧 = 𝑢𝑥 + 𝑖𝑣𝑥．反之，若 𝑢(𝑥, 𝑦) 和 𝑣(𝑥, 𝑦) 可微且满足 Cauchy-Riemann 方程，则 𝑓 𝑧 在 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 处可导．

03 PART 解析函数

解析函数 03 PART