同济大学：《复变函数和积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）5-2-分式线性变换

01 保圆性 目录》 02 交比 CONTENTS 03 到单位圆的变换

01 保圆性 目 录 CONTENTS 02 交比 03 到单位圆的变换

01 PART 保圆性

保圆性 01 PART

圆和直线 方程Azz+Bz+Bz+C=0,其中A,C∈R且|B12-AC>0. ·当A=0时，方程等价于直线的方程， ·当A≠0时，方程等价于圆的方程. 倒置换w=保持方程的形式不变， 圆和直线统称为扩充复平面上的圆·

圆和直线 方程 𝐴𝑧𝑧ҧ+ 𝐵ത𝑧 + 𝐵𝑧ҧ+ 𝐶 = 0，其中 𝐴, 𝐶 ∈ 𝐑 且 𝐵 2 − 𝐴𝐶 > 0． • 当 𝐴 = 0 时，方程等价于直线的方程． • 当 𝐴 ≠ 0 时，方程等价于圆的方程． • 倒置换 𝑤 = 1 𝑧 保持方程的形式不变． • 圆和直线统称为扩充复平面上的圆．

例 例1证明倒置换w=: (1)将不过原点的直线映射为过原点的圆； (2)将过原点的圆映射为不过原点的直线； (3)将过原点的直线映射为过原点的直线； (4)将不过原点的圆映射为不过原点的圆. 证明将z=代入圆与直线的统一方程 AzZ+Bz+BZ+C=0, 化简得到 A+Bw+Bw+Cww=0

例 例1 证明倒置换 𝑤 = 1 𝑧 (1) 将不过原点的直线映射为过原点的圆； (2) 将过原点的圆映射为不过原点的直线； (3) 将过原点的直线映射为过原点的直线； (4) 将不过原点的圆映射为不过原点的圆． 证明 将 𝑧 = 1 𝑤 代入圆与直线的统一方程 𝐴𝑧𝑧ҧ+ 𝐵ത𝑧 + 𝐵𝑧ҧ+ 𝐶 = 0， 化简得到 𝐴 + 𝐵ത𝑤ഥ + 𝐵𝑤 + 𝐶𝑤𝑤ഥ = 0．

例（续）》 Azz+Bz+B+C=0,A+Bw+Bw+Cww=0. (1)当A=0,C≠0时，前者表示不过原点的直线，于是后者表示过 原点的圆. (2)当A≠0，C=0时，前者表示过原点的圆，于是后者表示不过原 点的直线. (3)当A=0,C=0时，前者表示过原点的直线，于是后者表示过原 点的直线. (4)当A≠0，C≠0时，前者表示不过原点的圆，于是后者表示不过 原点的圆·

例（续） 𝐴𝑧𝑧ҧ+ 𝐵ത𝑧 + 𝐵𝑧ҧ+ 𝐶 = 0， 𝐴 + 𝐵ത𝑤ഥ + 𝐵𝑤 + 𝐶𝑤𝑤ഥ = 0． (1) 当 𝐴 = 0，𝐶 ≠ 0 时，前者表示不过原点的直线，于是后者表示过 原点的圆． (2) 当 𝐴 ≠ 0，𝐶 = 0 时，前者表示过原点的圆，于是后者表示不过原 点的直线． (3) 当 𝐴 = 0，𝐶 = 0 时，前者表示过原点的直线，于是后者表示过原 点的直线． (4) 当 𝐴 ≠ 0，𝐶 ≠ 0 时，前者表示不过原点的圆，于是后者表示不过 原点的圆．

保圆性 定理分式线性变换将圆或直线映射为圆或直线 证明任何一种分式线性变换可以写为四种基本变换的复合. ·平移、旋转、相似必定将圆映射为圆，直线映射为直线： 倒置换必定将圆或直线映射为圆或直线·

保圆性 定理 分式线性变换将圆或直线映射为圆或直线． 证明 任何一种分式线性变换可以写为四种基本变换的复合． • 平移、旋转、相似必定将圆映射为圆，直线映射为直线； • 倒置换必定将圆或直线映射为圆或直线．

02 PART 交比

交比 02 PART

交比 Z3-21,24-21 (21,22,23,24)= 23-Z2Z4-Z2 称为Z1,22,Z3,z4交比. 定理关于z的函数f(z)=(z1,22,23,z)为分式线性变换，且 f(z1)=∞，f(z2)=0,f(z3)=1

交比 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, 𝑧4 = 𝑧3 − 𝑧1 𝑧3 − 𝑧2 : 𝑧4 − 𝑧1 𝑧4 − 𝑧2 称为 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, 𝑧4 交比． 定理 关于 𝑧 的函数 𝑓 𝑧 = 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, 𝑧 为分式线性变换，且 𝑓 𝑧1 = ∞，𝑓 𝑧2 = 0，𝑓 𝑧3 = 1．

例 例1证明z1,z2,z3,z4四点共线或共圆，当且仅当（乙1，Z2,23,Z4)∈R. 证明考虑映射f(z)=(z1,Z2,23,Z）,因f(z)为分式线性变换，故f 将由乙1，z2,z3确定的圆或直线映射成为由 f(z1)=∞，f(z2)=0,f(z3)=1 确定的圆或直线，此时即实轴.从而24在由21,22,23确定的圆或直 线上，当且仅当f(z4)在实轴上，即（乙1,22,23,24）∈R

例 例1 证明 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, 𝑧4 四点共线或共圆，当且仅当 (𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, 𝑧4) ∈ 𝐑． 证明 考虑映射 𝑓 𝑧 = (𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, 𝑧)，因 𝑓 𝑧 为分式线性变换，故 𝑓 将由 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 确定的圆或直线映射成为由 𝑓 𝑧1 = ∞，𝑓 𝑧2 = 0，𝑓 𝑧3 = 1 确定的圆或直线，此时即实轴．从而 𝑧4 在由 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 确定的圆或直 线上，当且仅当 𝑓 𝑧4 在实轴上，即 (𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, 𝑧4) ∈ 𝐑．

例 例2证明由(z1,z2,z3,z)=(w1,w2,w3,w)确定的函数W=f(z)为 分式线性变换，并满足f(z1)=w1,f(z2)=w2,f(z3)=w3· 证明记g(z)=(Z1,Z2,z3,z）,h(w)=(w1,w2,w3,w),从而w= h-1(g(z)也为分式线性变换.而g(z)与h(w)分别将z1,z2,z3和 w1w2,w3映射为∞，0,1，故f(z)=h-1(g(z)将z1,z2,z3映射 为w1,W2,W3· (2,2,23)9(∞，0,1)(w,w2,w3) h

例 例2 证明由 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, 𝑧 = 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, 𝑤 确定的函数 𝑤 = 𝑓 𝑧 为 分式线性变换，并满足 𝑓 𝑧1 = 𝑤1，𝑓 𝑧2 = 𝑤2，𝑓 𝑧3 = 𝑤3． 证明 记 𝑔 𝑧 = (𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, 𝑧)，ℎ 𝑤 = 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, 𝑤 ，从而 𝑤 = ℎ −1 (𝑔 𝑧 ) 也为分式线性变换． 而 𝑔 𝑧 与 ℎ 𝑤 分别将 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 和 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3 映射为 ∞，0，1，故 𝑓(𝑧) = ℎ −1 (𝑔 𝑧 ) 将 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 映射 为 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3． (𝑧1, 𝑧2, 𝑧3) ՜ 𝑔 (∞, 0,1) ℎ −1 (𝑤1, 𝑤2, 𝑤3)