同济大学：《复变函数和积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）习题选讲4（积分的计算、共形映照）

目录》 01 积分的计算 CONTENTS 02 共形映照

目 录 CONTENTS 01 积分的计算 02 共形映照

01 PART 积分的计算

积分的计算 01 PART

计算积分的要点 判断积分是否有意义（敛散性) 判定是否可以使用留数定理，如可以应该使用哪个公式 在需要计算留数的奇点正确计算留数

计算积分的要点 • 判断积分是否有意义（敛散性） • 判定是否可以使用留数定理，如可以应该使用哪个公式 • 在需要计算留数的奇点正确计算留数

例题 例2以下积分是否收敛？如收敛是否可以使用留数定理计算？ 四兴2)2兴；(3)0张；④” 2元 dz z2+3z+2 1+cosz (924%；10)0品 2+cosz 解(1)和(2)都是函数沿闭曲线的复积分，其中(2)的被积函数在曲线上 有奇点，故该积分不收敛，(1)的被积函数的奇点不在曲线上，可以使用 留数定理

例题 例2 以下积分是否收敛？如收敛是否可以使用留数定理计算？ (1) ׬=|��|2 d𝑧 𝑧−1 ；(2) ׬=|��|2 d𝑧 𝑧+2 ；(3) ׬0 +∞ d𝑧 𝑧+1 ；(4) ׬0 +∞ d𝑧 𝑧 2+1 ； (5) ׬0 +∞ sin2𝑧 d𝑧 𝑧 4+1 ；(6) ׬0 +∞ cos 2𝑧 d𝑧 𝑧 2+3𝑧+2 ∞−׬ (7； ( +∞ cos2𝑧 d𝑧 𝑧 2+2 ； (8) ׬0 2𝜋 d𝑧 1+cos𝑧 ； (9) ׬0 2𝜋 d𝑧 2+cos 𝑧 ； (10) ׬0 𝜋 d𝑧 1+sin𝑧 ． 解 (1) 和 (2) 都是函数沿闭曲线的复积分，其中 (2) 的被积函数在曲线上 有奇点，故该积分不收敛，(1) 的被积函数的奇点不在曲线上，可以使用 留数定理．

例题 (3)和（④都是有理函数的定积分，为“号k类型，其中(3）的 Q(z) 分母次数之比分子的高一次，故积分不收敛，(4)可以使用留数定理计 算. (5)-(7)都是有理函数与三角函数的乘积的定积分，三个被积函数的 有理函数的分母次数均高于分子，且在积分区间上没有奇点，从而都是 收敛的，但只有)是号em类型，可以直接使用留数定理计 算，(5)和(6)都不是上述类型，无法直接使用留数定理计算·

例题 (3) 和 (4) 都是有理函数的定积分，为 ׬�� +∞ 𝑃(𝑧) 𝑄(𝑧) d𝑧 类型，其中 (3) 的 分母次数之比分子的高一次，故积分不收敛，(4) 可以使用留数定理计 算． (5)-(7) 都是有理函数与三角函数的乘积的定积分，三个被积函数的 有理函数的分母次数均高于分子，且在积分区间上没有奇点，从而都是 收敛的，但只有 (7) 是 ׬∞− +∞𝑃(𝑧) 𝑄(𝑧) 𝑒 𝑖𝑚𝑧d𝑧 类型，可以直接使用留数定理计 算， (5) 和 (6) 都不是上述类型，无法直接使用留数定理计算．

例题 (8)-(10)都是关于三角函数的有理函数的定积分，其中(8)的被积函 数在积分区间上有奇点，积分不收敛，(9)的积分区间长度不为2π，不 能直接使用留数定理计算，只有(10)是标准的可以转化为留数定理计算 的类型 注在课程习题中，涉及到的积分都符合可以转化为留数定理计算的条 件，但在具体实践中，并非所有积分都可以转化为可用留数定理计算的 积分类型，因此必须牢记可以转化为留数定理的积分应满足的所有条 件

例题 (8)-(10) 都是关于三角函数的有理函数的定积分，其中 (8) 的被积函 数在积分区间上有奇点，积分不收敛，(9) 的积分区间长度不为 2𝜋，不 能直接使用留数定理计算，只有 (10) 是标准的可以转化为留数定理计算 的类型． 注 在课程习题中，涉及到的积分都符合可以转化为留数定理计算的条 件，但在具体实践中，并非所有积分都可以转化为可用留数定理计算的 积分类型，因此必须牢记可以转化为留数定理的积分应满足的所有条 件．

02 PART 共形映照的构造

共形映照的构造 02 PART

构造共形映照的要点 圆周和直线的互化应考虑分式线性变换 改变角域的张角应考虑幂函数 角域到带域的互化应考虑指数函数和对数函数

构造共形映照的要点 • 圆周和直线的互化应考虑分式线性变换 • 改变角域的张角应考虑幂函数 • 角域到带域的互化应考虑指数函数和对数函数

例题 例1求从扇形域{lzl<2,0<argz<孕3到上半平面的-个共形变换. 解第一步：将扇形域变为半圆域，可以利用幂函数改变扇形的张角.取 w1(z)=z4, 此时扇形域变为半圆域lzl<16,0<argz<π}. 第二步：将半圆域变为角形域.注意半圆域由圆弧和线段围成，角 形域由两条射线围成，可以利用分式线性变换.取 w2(☒)= z+16 z-16' 该映射将-16变为0,0变为1,16变为∞，于是将区间[-16,16]变 为x-正半轴，由保角性，半圆弧变为y-正半轴，于是半圆域变成了第

例题 在此处键入公式。 例1 求从扇形域 { 𝑧 < 2, 0 < arg 𝑧 < 𝜋 4 } 到上半平面的一个共形变换． 解 第一步：将扇形域变为半圆域，可以利用幂函数改变扇形的张角．取 𝑤1(𝑧) = 𝑧 4 ， 此时扇形域变为半圆域 { 𝑧 < 16, 0 < arg 𝑧 < 𝜋} ． 第二步：将半圆域变为角形域．注意半圆域由圆弧和线段围成，角 形域由两条射线围成，可以利用分式线性变换．取 𝑤2(𝑧) = − 𝑧 + 16 𝑧 − 16 ， 该映射将 -16 变为 0，0 变为 1，16 变为 ∞，于是将区间 [−16,16] 变 为 𝑥-正半轴，由保角性，半圆弧变为 𝑦-正半轴，于是半圆域变成了第

例题 象限，这是一个张角为直角的角形域. 第三步：将角形域变为上半平面.注意上半平面是一个张角为平角 的角形域，故可以利用幂函数.取 w3(Z)=z2, 该映射将第一象限变为上半平面. 因此，将扇形域z<2,0<argz<羽共形映射为上半平面，只需 要将上述三个映射依次复合即可， =wo月-食9

例题 在此处键入公式。 一象限，这是一个张角为直角的角形域． 第三步：将角形域变为上半平面．注意上半平面是一个张角为平角 的角形域，故可以利用幂函数．取 𝑤3(𝑧) = 𝑧 2 ， 该映射将第一象限变为上半平面． 因此，将扇形域 { 𝑧 < 2, 0 < arg 𝑧 < 𝜋 4 } 共形映射为上半平面，只需 要将上述三个映射依次复合即可， 𝑤 𝑧 = 𝑤3 𝑤2 𝑤1 𝑧 = 𝑧 4 + 16 𝑧 4 − 16 2 ．