同济大学：《复变函数和积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）4-3-利用积分变换求解微分方程

目录》 01 常系数线性常微分方程 CONTENTS 02 常系数线性偏微分方程

目 录 CONTENTS 01 常系数线性常微分方程 02 常系数线性偏微分方程

思想 原方 程解 不易求解 原方程 逆变换 积分变换 新 解 新方程 求解 相对容易

思想 逆变换 积分变换 相对容易 原方 程解 原方程 新方程 新方 程解 求解 不 易 求 解

01 PART 常系数线性常微分方程

常系数线性常微分方程 01 PART

例题 例1求微分方程x"(t)-3x'(t)+2x(t)=e3t满足x(0)=x'(0)=0的 解. 解设L[x(t)]=X(s),由导数性质，得[x'(t)]=sX(s)-x(O)=sX(s), L[x"(t)]=sL[x'(t)]-x'(O)=s2X(s).方程两边做Laplace变换，得 (s2-3s+2)X0时=_1 S-3 从而Xs)=s-6-2s-·对X()做Laplace逆变换得到 1 0-0-e+ 经检验该解适合原方程

例题 例1 求微分方程 𝑥 ′′ 𝑡 − 3𝑥′ 𝑡 + 2𝑥 𝑡 = 𝑒 3𝑡 满足 𝑥 0 = 𝑥 ′ 0 = 0 的 解． 解 设 L 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝑠)，由导数性质，得 L 𝑥′(𝑡) = 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0 = 𝑠𝑋(𝑠)， L 𝑥′′(𝑡) = 𝑠L 𝑥′(𝑡) − 𝑥′ 0 = 𝑠 2𝑋(𝑠)．方程两边做 Laplace 变换，得 𝑠 2 − 3𝑠 + 2 𝑋 𝑠 = 1 𝑠 − 3 ， 从而 𝑋 𝑠 = 1 (𝑠−1)(𝑠−2)(𝑠−3)．对 𝑋 𝑠 做 Laplace 逆变换得到 𝑥 𝑡 = 1 2 𝑒 𝑡 − 𝑒 2𝑡 + 1 2 𝑒 3𝑡． 经检验该解适合原方程．

例题 例2求微分方程组 x'(t)=-x(t)+y(t)+et y'(0=-3x()+2y(0+2et 满足x(0)=y(0)= 1的解. 解设[x(t)〗=X(s),Ly(t)]=Y(s),由导数性质，得[x'(t)】= sX(s)-x(0)=sX(s)-1,[y(t)]=sY(s)-y(0)=sY(s)-1.方程 两边做Laplace变换，得 6+1)X(s)-Y(s)=。s S-1 3X(s)+(s-2)Y(s)= s+1 s-1 解得Xs)=Y(s)=一·对Xs),Ys)做Laplace逆变换得到x(d= y)一et.经检验该解适合原方程组

例题 例2 求微分方程组 ൝ 𝑥 ′ (𝑡) = −𝑥 𝑡 + 𝑦 𝑡 + 𝑒 𝑡 𝑦 ′ (𝑡) = −3𝑥 𝑡 + 2𝑦 𝑡 + 2𝑒𝑡 满足 𝑥 0 = 𝑦 0 = 1 的解． 解 设 L 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝑠)，L 𝑦(𝑡) = 𝑌(𝑠)，由导数性质，得 L 𝑥′(𝑡) = 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0 = 𝑠𝑋 𝑠 − 1，L 𝑦′(𝑡) = 𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦 0 = 𝑠𝑌 𝑠 − 1．方程 两边做 Laplace 变换，得 𝑠 + 1 𝑋 𝑠 − 𝑌 𝑠 = 𝑠 𝑠 − 1 ， 3𝑋 𝑠 + 𝑠 − 2 𝑌 𝑠 = 𝑠 + 1 𝑠 − 1 ． 解得 𝑋 𝑠 = 𝑌 𝑠 = 1 𝑠−1 ．对 𝑋 𝑠 ，𝑌(𝑠) 做 Laplace 逆变换得到 𝑥 𝑡 = 𝑦 𝑡 = 𝑒 𝑡．经检验该解适合原方程组．

02 PART 常系数线性偏微分方程

常系数线性偏微分方程 02 PART

例题 例1求微分方程初值问题 ut aux=0 u(x,0)=p(x) 的解 解设u(x,t)关于自变量x的Fourier变换为 十00 (w,)= u(x,t)e-ioxdx. 对方程两边关于自变量x做Fourier变换，得 tt(ω，t)+iωat(ω，t)=0, 解这个微分方程得到(w,t)=Ce-iwat.再对初始条件两边做Fourier变 换，得到(w,0)=(w),于是C=(w),即(w,t)=(w)e-iwat

例题 例1 求微分方程初值问题 ቊ 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑥 = 0 𝑢(𝑥, 0) = 𝜑(𝑥) 的解． 解 设 𝑢(𝑥,𝑡) 关于自变量 𝑥 的 Fourier 变换为 𝑢ො 𝜔,𝑡 = න −∞ +∞ 𝑢 𝑥,𝑡 𝑒 −𝑖𝜔𝑥d𝑥 ． 对方程两边关于自变量 𝑥 做 Fourier 变换，得 𝑢ො𝑡 𝜔,𝑡 + 𝑖𝜔𝑎𝑢ො 𝜔,𝑡 = 0， 解这个微分方程得到 𝑢ො 𝜔,𝑡 = 𝐶𝑒 −𝑖𝜔𝑎𝑡．再对初始条件两边做 Fourier 变 换，得到 𝑢ො 𝜔, 0 = 𝜑ො(𝜔)，于是 𝐶 = 𝜑ො(𝜔)，即 𝑢ො 𝜔,𝑡 = 𝜑ො(𝜔)𝑒 −𝑖𝜔𝑎𝑡．

例题 根据位移性质，（ω，t)=p(x-at),从而u(x,t)=p(x-at)· 经检验，当p(x)连续可微时，上述解适合原方程. 注常微分方程经积分变换后，可以变为简单的代数方程，方便求解；偏 微分方程经积分变换后，可以变为相对简单的常微分方程，方便求解.三 个步骤中，最后一步求逆变换，计算量较大，需要一些技巧

例题 根据位移性质，𝑢ො 𝜔,𝑡 = 𝜑(𝑥 − 𝑎𝑡) ̂，从而 𝑢 𝑥,𝑡 = 𝜑(𝑥 − 𝑎𝑡)． 经检验，当 𝜑(𝑥) 连续可微时，上述解适合原方程． 注 常微分方程经积分变换后，可以变为简单的代数方程，方便求解；偏 微分方程经积分变换后，可以变为相对简单的常微分方程，方便求解．三 个步骤中，最后一步求逆变换，计算量较大，需要一些技巧．

例题 例2求微分方程初值问题 u,-a2uxx三0的解. u(x,0)=p(x) 解设u(x,t)关于自变量x的Fourier变换为 +00 a(,t)=u(x,t)e-tXdx. 对方程两边关于自变量x做Fourier变换，得 t(w,t)+a2w2t(ω，t)=0, 解这个微分方程得到（ω，t)=Ce-a2w2t.再对初始条件两边做Fourier变 换，得到（ω，0）=0（ω），于是C=(ω)，即(w,t)=(w)ea2w2t

例题 例2 求微分方程初值问题 ቊ 𝑢𝑡 − 𝑎 2𝑢𝑥𝑥 = 0 𝑢(𝑥, 0) = 𝜑(𝑥) 的解． 解 设 𝑢(𝑥,𝑡) 关于自变量 𝑥 的 Fourier 变换为 𝑢ො 𝜔,𝑡 = න −∞ +∞ 𝑢 𝑥,𝑡 𝑒 −𝑖𝜔𝑥d𝑥． 对方程两边关于自变量 𝑥 做 Fourier 变换，得 𝑢ො𝑡 𝜔,𝑡 + 𝑎 2𝜔 2𝑢ො 𝜔,𝑡 = 0， 解这个微分方程得到 𝑢ො 𝜔,𝑡 = 𝐶𝑒 −𝑎 2𝜔2𝑡．再对初始条件两边做 Fourier 变 换，得到 𝑢ො 𝜔, 0 = 𝜑ො(𝜔)，于是 𝐶 = 𝜑ො(𝜔)，即 𝑢ො 𝜔,𝑡 = 𝜑ො(𝜔)𝑒 −𝑎 2𝜔2𝑡．

例题 为求u(x,t),需对（ω，t)关于w做Fourier逆变换.为此先对 @2 e-a2w2t关于ω做Fourier逆变换.因(e-x2)y=V元e本，由相似性质 得 (e-ax")=Vi ω2 e 4a2i, avt 再根据对称性质得 (e- V元 =x2 1 x2 πa√t e 4a2t= e 4a2t 2aVπt 于是u=()(e， 根据卷积性质

例题 为求 𝑢(𝑥,𝑡)，需对 𝑢ො 𝜔,𝑡 关于 𝜔 做 Fourier 逆变换．为此先对 𝑒 −𝑎 2𝜔2𝑡 关于 𝜔 做 Fourier 逆变换．因 (𝑒 −𝑥 2 ) ̂= 𝜋𝑒 − 𝜔2 4 ，由相似性质 得 𝑒 −𝑎 2𝑥 2𝑡 ̂= 𝜋 𝑎 𝑡 𝑒 − 𝜔2 4𝑎2𝑡， 再根据对称性质得 𝑒 −𝑎 2𝜔2𝑡 Ƽ= 1 2𝜋 𝜋 𝑎 𝑡 𝑒 − 𝑥 2 4𝑎2𝑡 = 1 2𝑎 𝜋𝑡 𝑒 − 𝑥 2 4𝑎2𝑡． 于是 𝑢ො 𝜔,𝑡 = 𝜑ො(𝜔) 1 2𝑎 𝜋𝑡 𝑒 − 𝑥 2 4𝑎2𝑡 ̂，根据卷积性质