同济大学：《复变函数和积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）3-4-孤立奇点

01 奇点与孤立奇点 目录》 02 孤立奇点的分类 CONTENTS 03 无穷远点的奇性 04 函数在孤立奇点的极限

01 奇点与孤立奇点 目 录 CONTENTS 02 孤立奇点的分类 03 无穷远点的奇性 04 函数在孤立奇点的极限

01 PART 奇点与孤立奇点

奇点与孤立奇点 01 PART

奇点与孤立奇点 复变函数不解析的点（函数在这一点无定义，或有定义但不可导）统称为该 函数的奇点 若z0为函数f(z)的奇点.且存在z的某个去心邻域0<|z-z0|<8,使得 f(z)在该去心邻域内再无其他奇点（即在该去心邻域内解析），则称z为f(z) 的孤立奇点

奇点与孤立奇点 复变函数不解析的点（函数在这一点无定义，或有定义但不可导）统称为该 函数的奇点． 若 𝑧0 为函数 𝑓(𝑧) 的奇点．且存在 𝑧0 的某个去心邻域 0 < |𝑧 − 𝑧0 | < δ，使得 𝑓(𝑧) 在该去心邻域内再无其他奇点（即在该去心邻域内解析），则称 𝑧0 为 𝑓(𝑧) 的孤立奇点．

奇点与孤立奇点举例 例1n以0为孤立奇点. 例2 以1和2为孤立奇点. 例3zsin上以0为孤立奇点. 例4cot以0和元(k=士1，士2…)为奇点全体，但0不是孤立的. 例5lnz以一切负实数和0为奇点，这些奇点都不是孤立的

奇点与孤立奇点举例 例1 sin𝑧 𝑧 以 0 为孤立奇点． 例2 1 𝑧−1 𝑧−2 以 1 和 2 为孤立奇点． 例3 𝑧 sin 1 𝑧 以 0 为孤立奇点． 例4 cot 1 𝑧 以 0 和 1 𝑘𝜋 (𝑘 = ±1, ±2, … ) 为奇点全体，但 0 不是孤立的． 例5 ln 𝑧 以一切负实数和 0 为奇点，这些奇点都不是孤立的．

02 PART 孤立奇点的分类

孤立奇点的分类 02 PART

孤立奇点的分类 考虑f(z)在孤立奇点zo的去心邻域内的Laurent级数 f0-立e-wn=a+-w 十00 00 00 C-n n=-00 n=1 n=0 C-2 C-1 =…+-202+z-0 +C0+CG1(z-Z0)+c2(z-z0)2+… (1)若级数中没有负幂次项，则z0称为可去奇点： (2)若级数中只有有限个负幂次项，则z称为极点； (3)若级数中有无穷多个负幂次项，则z称为本性奇点

孤立奇点的分类 考虑 𝑓(𝑧) 在孤立奇点 𝑧0 的去心邻域内的 Laurent 级数 𝑓 𝑧 = ෍ 𝑛=−∞ +∞ 𝑐𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 = ෍ 𝑛=1 ∞ 𝑐−𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 + ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑐𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 = ⋯ + 𝑐−2 𝑧 − 𝑧0 2 + 𝑐−1 𝑧 − 𝑧0 + 𝑐0 + 𝑐1 𝑧 − 𝑧0 + 𝑐2 𝑧 − 𝑧0 2 + ⋯ (1) 若级数中没有负幂次项，则 𝑧0 称为可去奇点； (2) 若级数中只有有限个负幂次项，则 𝑧0 称为极点； (3) 若级数中有无穷多个负幂次项，则 𝑧0 称为本性奇点．

孤立奇点举例 例1分析n严的奇点类型 解在0的去心邻域内 -6名+）1若+-2 00 (-1)n 22n n三0 该级数中没有负幂次项，故0是n的可去奇点

孤立奇点举例 例1 分析 sin 𝑧 𝑧 的奇点类型． 解 在 0 的去心邻域内 sin 𝑧 𝑧 = 1 𝑧 ⋅ 𝑧 − 𝑧 3 6 + ⋯ = 1 − 𝑧 2 6 + ⋯ = ෍ 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 2𝑛 + 1 ! 𝑧 2𝑛 该级数中没有负幂次项，故 0 是 sin𝑧 𝑧 的可去奇点．

孤立奇点举例 例2分析1和2作为 1 (2-10z-2) 的孤立奇点的类型 解在1的去心邻域内 a-Da-万=-∑-n 十00 1 n=-1 该级数只有一个负幂次项，故1是。-2-可 的极点，用类似的方法 可得，2也是2--可的极点. 注不能选取环域lz-1>1上的Laurent级数作为判别依据，因为 该环域不是1的去心邻域

孤立奇点举例 例2 分析 1 和 2 作为 1 𝑧−1 𝑧−2 的孤立奇点的类型． 解 在 1 的去心邻域内 1 (𝑧 − 1)(𝑧 − 2) = − ෍ 𝑛=−1 +∞ 𝑧 − 1 𝑛 , 该级数只有一个负幂次项，故 1 是 1 𝑧−1 𝑧−2 的极点，用类似的方法 可得，2 也是 1 𝑧−1 𝑧−2 的极点． 注 不能选取环域 𝑧 − 1 > 1 上的 Laurent 级数作为判别依据，因为 该环域不是 1 的去心邻域．

孤立奇点举例 例3分析zsin1的奇点类型. 解在0的去心邻域内 00 g2任a+）=1-应+= (-1)n1 (2n+1)！z2n m=0 该级数中有无穷多个负幂次项，故0是zsin三的本性奇点

孤立奇点举例 例3 分析 𝑧 sin 1 𝑧 的奇点类型． 解 在 0 的去心邻域内 𝑧 sin 1 𝑧 = 𝑧 ⋅ 1 𝑧 − 1 6𝑧 3 + ⋯ = 1 − 1 6𝑧 2 + ⋯ = ෍ 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 2𝑛 + 1 ! 1 𝑧 2𝑛 该级数中有无穷多个负幂次项，故 0 是 𝑧 sin 1 𝑧 的本性奇点．

03 PART 无穷远点的奇性

无穷远点的奇性 03 PART