同济大学：《复变函数和积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）3-1-级数与幂级数

目录》 01 复数项级数 CONTENTS 02 幂级数

目 录 CONTENTS 01 复数项级数 02 幂级数

01 PART 复数项级数

复数项级数 01 PART

复数项级数 定义对复数列{zk},令Sn=z1+z2+…+zn为数列{zk}的前n项之 和，记 00 Zk =lim Sn n→00 称为级数，Sn称为级数∑=1zk的部分和.若极限lim Sn存在，则称 11900 级数=1zk收敛，否则称级数∑=1Zk发散·

复数项级数 定义 对复数列 {𝑧𝑘}，令 𝑆𝑛 = 𝑧1 + 𝑧2 + ⋯ + 𝑧𝑛 为数列 {𝑧𝑘} 的前 𝑛 项之 和，记 ෍ 𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 = lim 𝑛→∞ 𝑆𝑛 称为级数，𝑆𝑛 称为级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 的部分和．若极限 lim 𝑛→∞ 𝑆𝑛 存在，则称 级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 收敛，否则称级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 发散．

复数项级数敛散性判定 定理对复数列{zk},记xk=Re2k,yk=Imzk,级数∑=12k收敛， 当且仅当级数∑1xk和∑=1yk都收敛. 级数收敛的必要条件若复数项级数=1zk收敛，则1im2k=0. 级数收敛的充分条件对复数项级数=12k,若正项级数∑=1zk收 敛，则级数∑=12k收敛（此时称该级数绝对收敛)·

复数项级数敛散性判定 定理 对复数列 {𝑧𝑘}，记 𝑥𝑘 = Re 𝑧𝑘，𝑦𝑘 = Im 𝑧𝑘，级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 收敛， 当且仅当级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑥𝑘 和 σ𝑘=1 ∞ 𝑦𝑘 都收敛． 级数收敛的必要条件 若复数项级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 收敛，则 lim 𝑘→∞ 𝑧𝑘 = 0． 级数收敛的充分条件 对复数项级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 ，若正项级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 收 敛，则级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 收敛（此时称该级数绝对收敛）．

例题 例1判别等比级数∑=0zk的敛散性（约定z°=1）· 解当|z≥1时，1imzk≠0，从而级数∑=ozk发散. 当|z<1时，0zk收敛，从而级数∑ozk收敛.进一步，因 5*1 k=0 故当|z<1时， zk lim 1-zn 1 →0∞1-z

例题 例1 判别等比级数 σ𝑘=0 ∞ 𝑧 𝑘 的敛散性（约定 𝑧 0 = 1）． 解 当 𝑧 ≥ 1 时，lim 𝑘→∞ 𝑧 𝑘 ≠ 0，从而级数 σ𝑘=0 ∞ 𝑧 𝑘 发散． 当 𝑧 < 1 时，σ𝑘=0 ∞ 𝑧 𝑘 收敛，从而级数 σ𝑘=0 ∞ 𝑧 𝑘 收敛．进一步，因 𝑆𝑛 = ෍ 𝑘=0 𝑛 𝑧 𝑘 = 1 − 𝑧 𝑛 1 − 𝑧 , 故当 𝑧 < 1 时， ෍ 𝑘=0 ∞ 𝑧 𝑘 = lim 𝑛→∞ 1 − 𝑧 𝑛 1 − 𝑧 = 1 1 − 𝑧 ．

02 PART 幂级数

幂级数 02 PART

复数项幂级数 定义形如 00 an(z-zo)n n=0 的级数称为幂级数，这里a,z,z0均为复参数 注若将z视为变量，则幂级数可看作定义在使得级数收敛的一切z构 成的集合D上的复变函数

复数项幂级数 定义 形如 ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 的级数称为幂级数，这里 𝑎𝑛, 𝑧, 𝑧0 均为复参数． 注 若将 𝑧 视为变量，则幂级数可看作定义在使得级数收敛的一切 𝑧 构 成的集合 𝐷 上的复变函数．

幂级数的收敛区域 Abel定理对幂级数∑m=oan(z-zo)n,r为某正实数. (1)若{anr)有界，则对-切lz-zolr,级数∑m=oan(z-zo)”发 散

幂级数的收敛区域 Abel 定理 对幂级数 σ𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0) 𝑛 ，𝑟 为某正实数． (1) 若 {𝑎𝑛𝑟 𝑛 } 有界，则对一切 𝑧 − 𝑧0 𝑟 ，级数 σ𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0) 𝑛 发 散．

证明 (1)设一切非负整数n,|anr1≤M,这里M>0,于是 1ag-2=1ar4-2gsw2,24 对-切12-2lr,{an(z-zo)无界，特别 lim an(z-zo)n≠0， n→0∞ 从而∑m=oan(z-zo)”发散

证明 (1) 设一切非负整数 𝑛， 𝑎𝑛𝑟 𝑛 ≤ 𝑀，这里 𝑀 > 0，于是 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0) 𝑛 = 𝑎𝑛𝑟 𝑛 ⋅ 𝑧 − 𝑧0 𝑟 𝑛 ≤ 𝑀 𝑧 − 𝑧0 𝑟 𝑛 . 对一切 𝑧 − 𝑧0 𝑟，{𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0) 𝑛 } 无界，特别 lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0) 𝑛 ≠ 0， 从而 σ𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0) 𝑛 发散．

幂级数的收敛半径 对幂级数∑=oan(z-zo)n,考虑-切使得{anr")有界的正实数r 构成的集合S,则只可能是空集或区间. 记R为区间S的右端点（当S为空集时约定R=0),称为幂级 数∑=oan(z-zo)”的收敛半径.此时该幂级数在圆盘域z-zolR}内 发散. 在收敛圆盘的边界上，幂级数的敛散性没有一般的结论·

幂级数的收敛半径 对幂级数 σ𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 ，考虑一切使得 {𝑎𝑛𝑟 𝑛 } 有界的正实数 𝑟 构成的集合 𝑆，则 𝑆 只可能是空集或区间． 记 𝑅 为区间 𝑆 的右端点（当 𝑆 为空集时约定 𝑅 = 0），称为幂级 数 σ𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 的收敛半径．此时该幂级数在圆盘域 {|𝑧 − 𝑧0| 𝑅} 内 发散． 在收敛圆盘的边界上，幂级数的敛散性没有一般的结论．