同济大学：《复变函数和积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）3-5-留数定理

01 留数 目录》 02 无穷远点的留数 CONTENTS 03 留数定理

01 留数 目 录 CONTENTS 02 无穷远点的留数 03 留数定理

01 PART 留数

留数 01 PART

留数 定义设zo为函数f(z)的孤立奇点，C为Z的去心邻域内的任何一条围绕zo的 正向简单闭曲线，记 Bex/(.z）-arad, 称为f(z)在zo点的留数. 不难证明，留数不依赖于曲线C的选取

留数 定义 设 𝑧0 为函数 𝑓(𝑧) 的孤立奇点，𝐶 为 𝑧0 的去心邻域内的任何一条围绕 𝑧0 的 正向简单闭曲线，记 Res 𝑓 𝑧 , 𝑧0 = 1 2π𝑖 න 𝐶 𝑓 𝑧 d𝑧 , 称为 𝑓(𝑧) 在 𝑧0 点的留数． 不难证明，留数不依赖于曲线 𝐶 的选取．

两个常用的计算留数的命题 命题1Res(f(z),zo)恰为f(z)在zo的去心邻域内Laurent级数的-1 次项的系数，特别若zo为f(z)的可去奇点，则Res(f(z),zo)=0. 命题2若f)=。2%,这里9〔2)在z6点解析，m为正整数，则 Res(f(z),z)=gm(z (m-1)月

两个常用的计算留数的命题 命题1 Res(𝑓(𝑧), 𝑧0) 恰为 𝑓(𝑧) 在 𝑧0 的去心邻域内 Laurent 级数的 −1 次项的系数，特别若 𝑧0 为 𝑓(𝑧) 的可去奇点，则 Res 𝑓 𝑧 , 𝑧0 = 0． 命题2 若 𝑓(𝑧) = 𝑔 𝑧 𝑧−𝑧0 𝑚，这里 𝑔(𝑧) 在 𝑧0 点解析，𝑚 为正整数，则 Res 𝑓 𝑧 , 𝑧0 = 𝑔 𝑚−1 𝑧0 (𝑚−1)! ．

函数在极点的留数计算 公式1设函数f(z)= g( h(z) 这里g(z)与h(z)在zo点解析，h(z)以zo 为单零点，则Res(f(a),zo)= h'(zo) , 公式2设函数f(2)=g 这里g(z)与h(z)在zo点解析，h(z)以zo 为m重零点，则 1 dm-1 Res((z),2o）=m-gzm【e-2 o)mf(z)

函数在极点的留数计算 公式1 设函数 𝑓(𝑧) = 𝑔 𝑧 ℎ 𝑧 ，这里 𝑔(𝑧) 与 ℎ(𝑧) 在 𝑧0 点解析，ℎ(𝑧) 以 𝑧0 为单零点，则 Res 𝑓 𝑧 , 𝑧0 = 𝑔 𝑧0 ℎ′ (𝑧0) ． 公式2 设函数 𝑓(𝑧) = 𝑔 𝑧 ℎ 𝑧 ，这里 𝑔(𝑧) 与 ℎ(𝑧) 在 𝑧0 点解析，ℎ(𝑧) 以 𝑧0 为 𝑚 重零点，则 Res 𝑓 𝑧 , 𝑧0 = 1 𝑚 − 1 ! lim 𝑧→𝑧0 d m−1 d𝑧m−1 𝑧 − 𝑧0 𝑚𝑓(𝑧) ．

证明 (1)此时有h(z)=(z-zo)(z),其中(z)在zo点解析且(zo)= o+0,从而f回=器，根据命题2得， Res(f(z),zo)= (2o）-g(2o) (2)-h(zo) (2)此时有h(z)=(z-zo)mh(z),其中(z)在zo点解析且(zo)≠0， 从而fa=a-0器，根据命题2得， 19(2 1[dm-1g(z] dm-1 Res(f(z),zo)=(m-1)!dz() 1 (m-1iim dzm-il(z-zo)mf(). Z二Z0

证明 (1) 此时有 ℎ 𝑧 = 𝑧 − 𝑧0 ℎ෨ 𝑧 ，其中 ℎ෨ 𝑧 在 𝑧0 点解析且 ℎ෨ 𝑧0 = ℎ′ 𝑧0 ≠ 0，从而 𝑓(𝑧) = 1 𝑧−𝑧0 𝑔 𝑧 ℎ෨ 𝑧 ，根据命题 2 得， Res 𝑓 𝑧 , 𝑧0 = 𝑔 𝑧0 ℎ෨ 𝑧0 = 𝑔 𝑧0 ℎ′(𝑧0) ． (2) 此时有 ℎ 𝑧 = 𝑧 − 𝑧0 𝑚ℎ෨ 𝑧 ，其中 ℎ෨ 𝑧 在 𝑧0 点解析且 ℎ෨ 𝑧0 ≠ 0， 从而 𝑓(𝑧) = 1 𝑧−𝑧0 𝑚 𝑔 𝑧 ℎ෨ 𝑧 ，根据命题 2 得， Res 𝑓 𝑧 , 𝑧0 = 1 𝑚 − 1 ! อ d m−1 d𝑧m−1 𝑔 𝑧 ℎ෨ 𝑧 𝑧=𝑧0 = 1 𝑚 − 1 ! lim 𝑧→𝑧0 d m−1 d𝑧m−1 𝑧 − 𝑧0 𝑚𝑓(𝑧) ．

留数计算示例 例1计算 在所有奇点的留数. πi3πi5πi7πi 解分母1+z4共有四个零点e,e4,e4,e4,且均为单零点，于是 同理可得

留数计算示例 例1 计算 1 1+𝑧 4 在所有奇点的留数． 解 分母 1 + 𝑧 4 共有四个零点 𝑒 𝜋𝑖 4 , 𝑒 3𝜋𝑖 4 , 𝑒 5𝜋𝑖 4 , 𝑒 7𝜋𝑖 4 ，且均为单零点，于是 Res 1 1+𝑧 4 , 𝑒 𝜋𝑖 4 = ቚ 1 1+𝑧 4 ′ 𝑧=𝑒 𝜋𝑖 4 = ቚ 1 4𝑧 3 𝑧=𝑒 𝜋𝑖 4 = − 1 4 𝑒 𝜋𝑖 4 ． 同理可得 Res 1 1+𝑧 4 , 𝑒 3𝜋𝑖 4 = − 1 4 𝑒 3𝜋𝑖 4 ,Res 1 1+𝑧 4 , 𝑒 5𝜋𝑖 4 = − 1 4 𝑒 5𝜋𝑖 4 ,Res 1 1+𝑧 4 , 𝑒 7𝜋𝑖 4 = − 1 4 𝑒 7𝜋𝑖 4 ．

留数计算示例 例2计算，1在所有奇点的留数. zsinz 解因sinz以kπ(k∈Z)为单零点，于是当k≠0时， 1 1 (-1)k Zc0SZlz=kπ kπ 而0是zsinz的二重零点，故 sinz-z cosz lim Z→0 sin2z 为求该极限，将分子分母都在0点写成Taylor级数，得到

留数计算示例 例2 计算 1 𝑧 sin𝑧 在所有奇点的留数． 解 因 sin 𝑧 以 𝑘𝜋 (𝑘 ∈ 𝐙) 为单零点，于是当 𝑘 ≠ 0 时， Res 1 𝑧 sin 𝑧 , 𝑘𝜋 = ቤ 1 𝑧 ⋅ sin 𝑧 ′ 𝑧=𝑘𝜋 = ቤ 1 𝑧 cos𝑧 𝑧=𝑘𝜋 = −1 𝑘 𝑘𝜋 ． 而 0 是 𝑧 sin 𝑧 的二重零点，故 Res 1 𝑧 sin 𝑧 , 0 = lim 𝑧→0 𝑧 2 𝑧 sin 𝑧 ′ = lim 𝑧→0 sin 𝑧 − 𝑧 cos𝑧 sin2 𝑧 ． 为求该极限，将分子分母都在 0 点写成 Taylor 级数，得到

留数计算示例 sinz-z cosz (-爱+）-z1-号+…）号+② sin2z 2(1-若+…月 1、22 +0(22) 从而 n) sinz-z cosz lim 2=0. Z→0 sin2z 注本题计算极限的方法，本质上与L'HOpital法则相同

留数计算示例 sin 𝑧 − 𝑧 cos𝑧 sin2 𝑧 = 𝑧 − 𝑧 3 6 + ⋯ − 𝑧 1 − 𝑧 2 2 + ⋯ 𝑧 2 1 − 𝑧 2 6 + ⋯ 2 = 𝑧 3 + 𝑜 𝑧 1 − 𝑧 2 6 + 𝑜(𝑧 2) , 从而 Res 1 𝑧 sin 𝑧 , 0 = lim 𝑧→0 sin 𝑧 − 𝑧 cos𝑧 sin2 𝑧 = 0． 注 本题计算极限的方法，本质上与 L’Hoොpital 法则相同．

02 PART 无穷远点的留数

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