同济大学：《复变函数和积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）5-1-映射的共形性

目录》 01 导数的几何意义 CONTENTS 02 几种特殊的共形映照

目 录 CONTENTS 01 导数的几何意义 02 几种特殊的共形映照

01 PART 导数的几何意义

导数的几何意义 01 PART

导数与反函数 对实变量函数f(x),若f(x)连续可导且f'(xo)≠0，则f(x)局 部单调，从而局部存在反函数.反之不成立！（即f(x)局部单 调，但f'(xo)有可能为零，例如f(x)=x3) 。 对复变量函数f(z),若f(z)解析且f'(zo)≠0，则局部存在反函 数.反之也成立！

导数与反函数 • 对实变量函数 𝑓(𝑥)，若 𝑓(𝑥) 连续可导且 𝑓′ 𝑥0 ≠ 0，则 𝑓(𝑥) 局 部单调，从而局部存在反函数． 反之不成立！（即 𝑓(𝑥) 局部单 调，但 𝑓′ 𝑥0 有可能为零，例如 𝑓 𝑥 = 𝑥 3） • 对复变量函数 𝑓(𝑧)，若 𝑓(𝑧) 解析且 𝑓′ 𝑧0 ≠ 0，则局部存在反函 数． 反之也成立！

例子 考虑f(z)=z3,其导数f(z)=3z2. 当z≠0时，f'(z)≠0，总可以取到z的充分小的邻域U,使得 在U中，任意两个数的幅角之差都小于？，这样在U内只要a≠ 2,就有f(21)≠f(22),即在U内f可定义反函数. 当z=0时，f'(0)=0,此时无论如何取z的邻域U,在U中， 总能找到两个数21,22（事实上可以找到无穷多对这样的数)， 两数的模相同且幅角之差恰为；，这样就有f(2)=f(22),即在 0的任何邻域内f都不可定义反函数

例子 考虑 𝑓 𝑧 = 𝑧 3，其导数 𝑓′ 𝑧 = 3𝑧 2． • 当 𝑧 ≠ 0 时，𝑓′ 𝑧 ≠ 0，总可以取到 𝑧 的充分小的邻域 𝑈，使得 在 𝑈 中，任意两个数的幅角之差都小于 π 3 ，这样在 𝑈 内只要 𝑧1 ≠ 𝑧2，就有 𝑓(𝑧1) ≠ 𝑓(𝑧2)，即在 𝑈 内 𝑓 可定义反函数． • 当 𝑧 = 0 时，𝑓′ 0 = 0，此时无论如何取 𝑧 的邻域 𝑈，在 𝑈 中， 总能找到两个数 𝑧1，𝑧2（事实上可以找到无穷多对这样的数）， 两数的模相同且幅角之差恰为 π 3，这样就有 𝑓 𝑧1 = 𝑓(𝑧2)，即在 0 的任何邻域内 𝑓 都不可定义反函数．

导数的几何意义 若函数f(z)在区域D内解析且非常值，则f将D映射为区域！ 若函数f(z)在区域D内解析且f'(zo)≠0，则存在zo的某个邻 域UcD,f将U一映射为区域f(U!特别将U内的任何一 条简单曲线，映为f(U)内的一条简单曲线. w=f(2)

导数的几何意义 • 若函数 𝑓(𝑧) 在区域 𝐷 内解析且非常值，则 𝑓 将 𝐷 映射为区域！ • 若函数 𝑓(𝑧) 在区域 𝐷 内解析且 𝑓′ 𝑧0 ≠ 0，则存在 𝑧0 的某个邻 域 𝑈 ⊂ 𝐷， 𝑓 将 𝑈 一一映射为区域 𝑓(𝑈)！特别将 𝑈 内的任何一 条简单曲线，映为 𝑓(𝑈) 内的一条简单曲线．

导数的几何意义（续) 考虑U内过z0的简单参数曲线C:z(t),其中0≤t≤e,z(0)= 2o·f(C)为C在映射f下的像曲线，其参数方程为f(z(t),其 中f(z(0)=f(zo)=wo· C在z0的切向量为立=z(0),物理意义为以该参数方程描述的运 动质点，在z的速度，f(C)在wo的切向量为元='(zo)z(0), 物理意义运动质点在映射f下的对应点，在wo的速度， 比较两个速度的大小和方向，发现 wl=If'(zo).,Argw=Arg f'(zo)+Arg If'(zo)川为速度大小变化的比率，Agf'(zo)为速度方向转动的角度

导数的几何意义（续） • 考虑 𝑈 内过 𝑧0 的简单参数曲线 𝐶: 𝑧 𝑡 ，其中 0 ≤ t ≤ ϵ，𝑧 0 = 𝑧0． 𝑓(𝐶) 为 𝐶 在映射 𝑓 下的像曲线，其参数方程为 𝑓(𝑧 𝑡 )，其 中 𝑓 𝑧 0 = 𝑓 𝑧0 = 𝑤0． • 𝐶 在 𝑧0 的切向量为 𝑣 Ԧ = 𝑧′ 0 ，物理意义为以该参数方程描述的运 动质点，在 𝑧0 的速度，𝑓(𝐶) 在 𝑤0 的切向量为 𝑤 = 𝑓′(𝑧0)𝑧′ 0 ， 物理意义运动质点在映射 𝑓 下的对应点，在 𝑤0 的速度． • 比较两个速度的大小和方向，发现 𝑤 = 𝑓′ 𝑧0 ⋅ 𝑣 Ԧ ，Arg 𝑤 = Arg 𝑓′(𝑧0) + Arg𝑣 Ԧ 𝑓′ 𝑧0 为速度大小变化的比率，Arg 𝑓′(𝑧0) 为速度方向转动的角度．

映射共形性 若函数f(z)在区域D内解析且f'(zo)≠0，则过zo的任何一条 简单参数曲线在zo点的速度大小变化的比率都为|f'(zo)川，速度 方向转动的角度都为Argf'(zo),这样的映射称为在zo点共形！ 保角性：共形映照保持过一点的两条曲线间的转动角不变！

映射共形性 • 若函数 𝑓(𝑧) 在区域 𝐷 内解析且 𝑓′ 𝑧0 ≠ 0，则过 𝑧0 的任何一条 简单参数曲线在 𝑧0 点的速度大小变化的比率都为 𝑓′ 𝑧0 ，速度 方向转动的角度都为 Arg 𝑓′(𝑧0)，这样的映射称为在 𝑧0 点共形！ • 保角性：共形映照保持过一点的两条曲线间的转动角不变！

02 PART 几种特殊的共形映照

几种特殊的共形映照 02 PART

指数函数与对数函数 指数函数e2在所有点都共形，对数函数lnz在所有解析点共形 将带形域映为角形域 D 指数函数局部存在反函数（对数函数）但不存在整体的反函数

指数函数与对数函数 指数函数 𝑒 𝑧 在所有点都共形，对数函数 ln 𝑧 在所有解析点共形． • 将带形域映为角形域 • 指数函数局部存在反函数（对数函数）但不存在整体的反函数

幂函数 幂函数zn(n=2,3,…)在除原点外的所有点都共形. 。 将角形域映为角形域（张角变为原来的n倍） 甲=2” 2

幂函数 幂函数 𝑧 𝑛 (𝑛 = 2,3, … ) 在除原点外的所有点都共形． • 将角形域映为角形域（张角变为原来的 𝑛 倍）