同济大学：《复变函数和积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）3-3-Laurent级数

目录》 01 Laurenta级数 CONTENTS 02 初等函数的Laurent级数

目 录 01 Laurent级数 CONTENTS 02 初等函数的Laurent级数

01 PART Laurent级数

Laurent 级数 01 PART

Laurent级数定理 定理设f(z)在环域r<|z-zo|<R内解析，则f(z)在该环域内可表示为 fa=】 Cn (z-20)n n=-00 该级数称f回该环域内的Laurent级数，这里6，=六dk,称为 f(z)在该环域内的Laurent系数，C为该环域内的任意一条简单光滑闭曲线

Laurent 级数定理 定理 设 𝑓(𝑧) 在环域 𝑟 < 𝑧 − 𝑧0 < 𝑅 内解析，则 𝑓(𝑧) 在该环域内可表示为 𝑓(𝑧) = ෍ 𝑛=−∞ +∞ 𝑐𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 该级数称 𝑓(𝑧) 该环域内的 Laurent 级数， 这里 𝑐𝑛 = 1 2𝜋i ��׬ 𝑓 𝜁 𝜁−𝑧0 𝑛+1 d𝜁，称为 𝑓(𝑧) 在该环域内的 Laurent 系数，𝐶 为该环域内的任意一条简单光滑闭曲线．

注解 圆环的内半径可以是零，外半径可以是无穷大· Laurent级数是两个幂级数的和 + +0∞ +00 ∑6e-om=∑cg-on+∑ c-n (z-zo)-n n=-o n=0 n=1 Laurent级数有意义当且仅当两个幂级数都收敛.前一个级数的系数 决定收敛圆环的外半径，后一个级数的系数决定收敛圆环的内半径

注解 • 圆环的内半径可以是零，外半径可以是无穷大． • Laurent 级数是两个幂级数的和 ෍ 𝑛=−∞ +∞ 𝑐𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 = ෍ 𝑛=0 +∞ 𝑐𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 + ෍ 𝑛=1 +∞ 𝑐−𝑛 𝑧 − 𝑧0 −𝑛 Laurent 级数有意义当且仅当两个幂级数都收敛．前一个级数的系数 决定收敛圆环的外半径，后一个级数的系数决定收敛圆环的内半径．

证明 对环域{r1，从而在C2上 1 1 (z-zo)n ?-27-01-五 7一Z0 n=0

证明 对环域 {𝑟 1，从而在 𝐶2 上 1 𝜁 − 𝑧 = 1 𝜁 − 𝑧0 ∙ 1 1 − 𝑧 − 𝑧0 𝜁 − 𝑧0 = ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑧 − 𝑧0 𝑛 𝜁 − 𝑧0 𝑛+1

证明（续） 在C1上 00 11 1 (3-z)n -z 2-01- (z- z0)n+7 Z-Zo n=0 分别代入两个积分，并交换积分与求和的次序得 制-2-n f()

证明（续） 在 𝐶1 上 1 𝜁 − 𝑧 = − 1 𝑧 − 𝑧0 ∙ 1 1 − 𝜁 − 𝑧0 𝑧 − 𝑧0 = −෍ 𝑛=0 ∞ 𝜁 − 𝑧0 𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛+1． 分别代入两个积分，并交换积分与求和的次序得 1 2𝜋i න 𝐶2 𝑓 𝜁 𝜁 − 𝑧 d𝜁 = ෍ 𝑛=0 ∞ 1 2𝜋i න 𝐶2 𝑓 𝜁 𝜁 − 𝑧0 𝑛+1 d𝜁 𝑧 − 𝑧0 𝑛 , 1 2𝜋i න 𝐶1 𝑓 𝜁 𝜁 − 𝑧 d𝜁 = − ෍ 𝑛=0 ∞ 1 2𝜋i න 𝐶2 𝑓 𝜁 𝜁 − 𝑧0 −𝑛 d𝜁 𝑧 − 𝑧0 − 𝑛+1 = − ෍ 𝑚=−∞ −1 1 2𝜋i න 𝐶2 𝑓 𝜁 𝜁 − 𝑧0 𝑚+1 d𝜁 𝑧 − 𝑧0 𝑚． （令 𝑚 = −(𝑛 + 1)）

证明（续） 令 f(3) 《-2o)n*7dk,n≥0 C2 Cn= -7k,n<0 f(3) 即得f(z)=∑t”oc(z-zo)n.只需再说明cn定义式中的积分曲线 C,C2可换作环域内的任意一条简单光滑闭曲线.事实上，对任意一条 闭曲线C,只需选取C,C2使得C落在C,C2所围成的环域内，再利用 多连通区域上的Cauchy积分定理即可，细节略去.证毕

证明（续） 令 𝑐𝑛 = 1 2𝜋i න 𝐶2 𝑓 𝜁 𝜁 − 𝑧0 𝑛+1 d𝜁 , 𝑛 ≥ 0 1 2𝜋i න 𝐶1 𝑓 𝜁 𝜁 − 𝑧0 𝑛+1 d𝜁 , 𝑛 < 0 即得 𝑓(𝑧) = σ𝑛=−∞ +∞ 𝑐𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛． 只需再说明 𝑐𝑛 定义式中的积分曲线 𝐶1, 𝐶2 可换作环域内的任意一条简单光滑闭曲线． 事实上，对任意一条 闭曲线 𝐶，只需选取 𝐶1, 𝐶2 使得 𝐶 落在 𝐶1, 𝐶2 所围成的环域内，再利用 多连通区域上的 Cauchy 积分定理即可，细节略去． 证毕．

Laurent级数的唯一性 设f(z)在环域r<|z-zo|<R内解析，且f(z)在该环域内的可表示为 +00 f(z)= Cn (z-20)n 则6，=六人9k,这里C为该环域内的任意一条简单光滑闭曲线， 证明f(z)的解析性可根据幂级数的逐项求导得到，在f(z)的幂级数表达式两边 同除以(z一zo)m+1,并在C上积分，即可得到cn的值

Laurent 级数的唯一性 设 𝑓(𝑧) 在环域 𝑟 < 𝑧 − 𝑧0 < 𝑅 内解析，且 𝑓(𝑧) 在该环域内的可表示为 𝑓(𝑧) = ෍ 𝑛=−∞ +∞ 𝑐𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 则 𝑐𝑛 = 1 2𝜋i ��׬ 𝑓 𝜁 𝜁−𝑧0 𝑛+1 d𝜁，这里 𝐶 为该环域内的任意一条简单光滑闭曲线． 证明 𝑓(𝑧) 的解析性可根据幂级数的逐项求导得到，在 𝑓 𝑧 的幂级数表达式两边 同除以 𝑧 − 𝑧0 𝑚+1，并在 𝐶 上积分，即可得到 𝑐𝑛 的值．

02 PART 初等函数的Laurent级数

初等函数的 Laurent 级数 02 PART

利用已有结果求Laurent级数 例1求函数f(z)= (z-1)(z-2) 在以下环域内的Laurent级数. (1)01 解(1)因为当z-11时，高<1，故

利用已有结果求Laurent级数 例1 求函数 𝑓 𝑧 = 1 (𝑧−1)(𝑧−2) 在以下环域内的 Laurent 级数． (1) 0 1 解 (1) 因为当 𝑧 − 1 1 时， 1 𝑧−1 < 1，故