同济大学：《复变函数和积分变换》课程教学资源（PPT课件讲稿）3-6-利用留数定理计算广义积分

01 有理函数的广义积分 目录》 02 有理函数的Fourier?型积分 CONTENTS 03 三个著名的广义积分

01 有理函数的广义积分 目 录 CONTENTS 02 有理函数的Fourier型积分 03 三个著名的广义积分

01 PART 有理函数的广义积分

有理函数的广义积分 01 PART

全实数轴上的广义积分 定理设P(z),Q(z)为实系数多项式，且degP(z)+1<degQ(z)(deg表示多项 式的次数)，Q(z)无实零点，则如下广义积分收敛，且 +00 ∫ P(x) (x) 这里，…，2k为Q(z)在上半平面内的零点全体

全实数轴上的广义积分 定理 设 𝑃 𝑧 , 𝑄 𝑧 为实系数多项式，且 deg 𝑃 𝑧 + 1 < deg 𝑄 𝑧 （deg 表示多项 式的次数），𝑄 𝑧 无实零点，则如下广义积分收敛，且 න −∞ +∞ 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 d𝑥 = 2𝜋𝑖 ෍ 𝑗=1 𝑘 Res 𝑃 𝑧 𝑄 𝑧 , 𝑧𝑗 , 这里 𝑧1 , … , 𝑧𝑘 为 𝑄 𝑧 在上半平面内的零点全体．

证明 在上半平面内，取以原点为圆心R为半径的半圆域，使得Q(z)在 上半平面内的一切零点都包含在其中.记C取为上半平面内的半圆弧， 由留数定理得 中 k [P(x) Q(x) x+ Q) dz=2ni Res) -R CR 令R→+∞，只需证明等式左端第二个积分趋于0，即得结论· CR

证明 在上半平面内，取以原点为圆心 𝑅 为半径的半圆域，使得 𝑄 𝑧 在 上半平面内的一切零点都包含在其中．记 𝐶𝑅 为上半平面内的半圆弧， 由留数定理得 න −𝑅 𝑅 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 d𝑥 + න 𝐶𝑅 𝑃 𝑧 𝑄 𝑧 d𝑧 = 2𝜋𝑖 ෍ 𝑗=1 𝑘 Res 𝑃 𝑧 𝑄 𝑧 , 𝑧𝑗 ． 令 𝑅 → +∞，只需证明等式左端第二个积分趋于 0，即得结论．

证明（续） 为证明这一结论，注意到对充分大的z,存在正数M,使得 aozm+a1zm-1+…+am b0zn+b1zn-1+…+bn 1 a0+a1z-1+…+anz-m M =zm-mb+b1z-1+…+bnz-n≤1☑p' 从而当R→+∞时， MπM ≤πR·R2=R →0

证明（续） 为证明这一结论，注意到对充分大的 𝑧 ，存在正数 𝑀，使得 𝑃 𝑧 𝑄 𝑧 = 𝑎0𝑧 𝑚 + 𝑎1𝑧 𝑚−1 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑏0𝑧 𝑛 + 𝑏1𝑧 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏𝑛 = 1 𝑧 𝑛−𝑚 ⋅ 𝑎0 + 𝑎1𝑧 −1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑧 −𝑚 𝑏0 + 𝑏1𝑧 −1 + ⋯ + 𝑏𝑛𝑧 −𝑛 ≤ 𝑀 𝑧 2 ， 从而当 𝑅 → +∞ 时， න 𝐶𝑅 𝑃 𝑧 𝑄 𝑧 d𝑧 ≤ 𝜋𝑅 ⋅ 𝑀 𝑅2 = 𝜋𝑀 𝑅 → 0．

例题 例1计算积盼长 解多项式1十24在上半平面共有两个零点e是，e要，从而 +00 平=-ae到+中》 -00 e+e1= 2πi[ ，3π1 4 2

例题 例1 计算积分 ׬∞− +∞ d𝑥 1+𝑥4 ． 解 多项式 1 + 𝑧 4 在上半平面共有两个零点 𝑒 𝜋𝑖 4 ，𝑒 3𝜋𝑖 4 ，从而 න −∞ +∞ d𝑥 1 + 𝑥 4 = 2π𝑖 Res 1 1 + 𝑧 4 , 𝑒 𝜋𝑖 4 + Res 1 1 + 𝑧 4 , 𝑒 3𝜋𝑖 4 = − 2𝜋𝑖 4 𝑒 𝜋𝑖 4 + 𝑒 3𝜋𝑖 4 = 2𝜋 2 ．

半实数轴上的广义积分 定理设P(z),Q(z)为实系数多项式，且degP(z)+1<degQ(z)（deg表示多 项式的次数)，Q(z)在[0，+∞)上无零点，则如下广义积分收敛，且 +00 ∫ P(x) /P(z) (x) 此处logz=lnz+i0,这里0为取值在[0,2π)上的z的幅角，z1,,zn为Q(z) 在上半平面内的零点全体， 推广若要计算[a,+∞)上的积分，只需作积分变量替换y=x-a即可

半实数轴上的广义积分 定理 设 𝑃 𝑧 , 𝑄 𝑧 为实系数多项式，且 deg 𝑃 𝑧 + 1 < deg 𝑄 𝑧 （deg 表示多 项式的次数），𝑄 𝑧 在 [0, +∞) 上无零点，则如下广义积分收敛，且 න 0 +∞ 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 d𝑥 = −෍ 𝑗=1 𝑛 Res 𝑃 𝑧 𝑄 𝑧 log 𝑧 , 𝑧𝑗 , 此处 log 𝑧 = ln |𝑧| + 𝑖𝜃，这里 𝜃 为取值在 [0,2𝜋) 上的 𝑧 的幅角，𝑧1 , … , 𝑧𝑛 为 𝑄 𝑧 在上半平面内的零点全体． 推广 若要计算 [𝑎, +∞) 上的积分，只需作积分变量替换 𝑦 = 𝑥 − 𝑎 即可．

证明 首先注意到10gz以一切非负实数为奇点，且当x>0时， lim log(x-iy)-lim log(x +iy)=2ni. y→0+ 1V-0+ 在如图所示的区域边界上，研究积分。号1gzd,证明当内半径趋 Q(z) 于零，外半径趋于无穷时，圆弧上的积分均趋于零，即可证得结论，这 里略去细节. 2

证明 首先注意到 log 𝑧 以一切非负实数为奇点，且当 𝑥 > 0 时， lim 𝑦→0+ log(𝑥 − 𝑖𝑦) − lim 𝑦→0+ log 𝑥 + 𝑖𝑦 = 2𝜋𝑖． 在如图所示的区域边界上，研究积分 ׬�� 𝑃 𝑧 𝑄 𝑧 log 𝑧 d𝑧，证明当内半径趋 于零，外半径趋于无穷时，圆弧上的积分均趋于零，即可证得结论，这 里略去细节．

例题 例2计算积盼。“ 1+x3 解多项式1+2子共有三个零点号，-1，e受，从而 5πi +00 dx logz πi 1+x =-Res(,e +Res (小+（经》 logz 0 log z logz 5π5π 3z3 2V3π 9

例题 例2 计算积分 ׬0 +∞ d𝑥 1+𝑥3 ． 解 多项式 1 + 𝑧 3 共有三个零点 𝑒 𝜋𝑖 3 ， − 1，𝑒 5𝜋𝑖 3 ，从而 න 0 +∞ d𝑥 1 + 𝑥 3 = − Res log 𝑧 1 + 𝑧 3 , 𝑒 𝜋𝑖 3 + Res log 𝑧 1 + 𝑧 3 , −1 + Res log 𝑧 1 + 𝑧 3 , 𝑒 5𝜋𝑖 3 = − ቤ log 𝑧 3𝑧 3 𝑧=𝑒 𝜋𝑖 3 + ቤ log 𝑧 3𝑧 3 𝑧=−1 + ቤ log 𝑧 3𝑧 3 𝑧=𝑒 5𝜋𝑖 3 = 𝑖 3 𝜋 3 𝑒 𝜋𝑖 3 − 𝜋 + 5𝜋 3 𝑒 5𝜋𝑖 3 = 2 3𝜋 9 ．

02 PART 有理函数的Fourier型积分

有理函数的 Fourier 型积分 02 PART