上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第三章 连续形型随机变量 §3.2 连续型随机变量

§3.2连续型随机变量 在第二章里，己经对离散型随机变 量作了一些研究，下面将要研究另 一 类十分重要而且常见的随机变量 连续型随机变量 定义3.2若()是随机变量，F(是它的分布函 数如果存在函数(，使对任意的x有 F(x)=p(0y)的 (3.12)

§ 3.2连续型随机变量 • 在第二章里,已经对离散型随机变 量作了一些研究,下面将要研究另 一类十分重要而且常见的随机变量 -----连续型随机变量

则称()对连续型随机变量，相应的F()为连续型分 布漱，同时称P()是F()的凝率密度函数或简称为密 度 由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密 度函数p(x必具有下述性质：zS (1)p(x20: (3.13) (2) p(x)dx=1 (3.140 反过来，任意一个R上的函数P),如果具有以上的 两个性质，即可由(3.12式定义一个分布函数F()

如果随机变量()的密度函数P公，则对任意的 x1,(<x2)有p(x1≤()<x2)=F(x2)-F(x1) ，(3.15) 这一结果有很简单的几何意义：()落在[x1x2)中的概率， 恰好等于在区间[x1x2)上由曲线y=2(x)形成的曲边梯形 的面积

由(3.15)式还可以证明，连续型随机变量()取单点值的 概率为零，也就是说对任意的x,2((@)=x)=0于是有 p(x1≤5(0)≤x2)=p(x1≤5()<x2)+2(5(m=x2) pG≤(<x)=p0 (3.16)

如果P(3)在某一范围内的数值此较大，则由(3.16)或(3.15) 式可知，随机变量落在这个范围内的概率也较大，这意味着P(8) 的确具有密度的性质，所以称它为概率密度函数，此外，由(3.12) 式可知，对P()的连续点必有 dF(过=F'()=P(x动 (3.17) gizsi dx 在例3.1中已经知道 0,xb

在，点和式点，F的导数不存在，在这两个点上可以补充 定义 p(x)= ,x=a,或x=b b-a 这时显然有忆 F(网= plu)du

成立，所以F(x)的密度函数为P)F(8)是一个连续型分布在 相应的随机变量可能取值的区间[a,b]上，它的密度P(是一个 常数，这样的分布常常称为均匀分布 例3.5若4，列是两个常数数，则 1 (x-u) p(x)= 2x ,-000为显然，此外还可以验证有

p(x)dx= 1 (x-川 22 dx=1 为此，可令一4 =y则 (x- e 2w dx= 2πG 这时有 2元 2

现在作坐标变换，令 x=rcos y=rsin 所以有 -i

于是 p(xix=1 这个函数称为正态密度，相应的分布函数为 1 ( X F(x)= 2x2 y,-00<x<0 k3.19) 并称F(x)为正态分布，常常简单地记作(4，G)如果一个随 机变量()的分布函数是正态分布.也称()是一个正态