上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 离散型随机变量 § 2.2 多维随机变量,联合分布列和边际分布列

2.2 多维随机变量，联合分布 列和边际分布列 在上一节中我们讨论了一维随机变量， 已经知道所谓一维随机变量无非是随机试 验的结果和一维实数之间的某个对应关系. 但在许多实际问题中，对于每一个试验结果， 往往同时对应有一个以上的实数值如在例 2.1中，对每一台出厂的电视机来说，除了一年 中发生故障次数以外，还可以考察一年中实 际工作的小数，一年中损坏的元件数等数据

§ 2.2 多维随机变量,联合分布 列和边际分布列 在上一节中我们讨论了一维随机变量, 已经知道所谓一维随机变量无非是随机试 验的结果和一维实数之间的某个对应关系. 但在许多实际问题中,对于每一个试验结果, 往往同时对应有一个以上的实数值.如在例 2.1中,对每一台出厂的电视机来说,除了一年 中发生故障次数以外,还可以考察一年中实 际工作的小数,一年中损坏的元件数等数据

一 般地说，每个试验结果可以有n个数值与之 对应，这时就称这种对应关系是一个n维随机 变量，也称为n维随机变量.如同§2.1中所给出 的一维离散型随机变量的定义，现在给出n维 离散型随变量的定义 定义2.2设51,52…，5n是样本空间2上的个离散型 随机变量，则称nh维向量(5i,52…,5m)是Q上的一个n 维离散型随机变量或n维随机向量

一般地说,每个试验结果可以有n个数值与之 对应,这时就称这种对应关系是一个n维随机 变量,也称为n维随机变量.如同§ 2.1中所给出 的一维离散型随机变量的定义,现在给出n维 离散型随变量的定义. 定义 2.2设 是样本空间Ω上的n个离散型 随机变量,则称nh维向量( )是Ω上的一个n 维离散型随机变量或n维随机向量.    n , , 1 2     n , , 1 2 

如同数学分析中大家所熟悉的那样，从一维到多维会增添许多新的问题为了叙 述和学习的方便起见，下面着重讨论二维的离散型随机变量. 设(，n)是一个二给离散型随机变量，它们一切 可能取的值为(a,),i,j=1,2…令 B=P(5=a,7=b),i,Jj=1,2,… 称((i,j=1,2…)是二维随机变量（飞，n)的 联合分布列如同一维时的论述，容易证明二维联合分 布列具有下面三个性质： (1)20,i,j=1,2,… (2.15 (2) 会会 (2.1⊙

如同数学分析中大家所熟悉的那样,从一维到多维会增添许多新的问题.为了叙 述和学习的方便起见,下面着重讨论二维的离散型随机变量

(3) G=)-会，=R (2.17 P=b,)=2R=R, 其中(1).(2)是显然的，现在骓〔3).由联合分布列的定义及 全概率公式有 pG==Re-an原a-] -ang-

会G=n-6》-24 同理可得 P7=,)=2 i-l 汇 如果记∑B=R∑B=P,目 即可得到(2.17) 现在看一个比较简单的例子 例27把三个相同的球等可能地放入编号为

1,2,3的三个盒子中，记落入1号盒子中的球的个数为号， 落入第2号盒子中球的个数为”，则(5，？)是一个二维 随机变量，其中和7的可能取值为0,1,2,3.现在来找 (5,?)的联合分布列由条件概率的定义易知有 E=P(5=i,7=) P(=i7=)P(0=),0≤i+j≤3

这时显然有 3-3 P(7=)= ,0≤j≤3 G==n-:旧-：旧0s+s 于是 -[

3到 0≤i+Ji≤3 27刘(3--)川 而当+j>3或计j<0时显然有 Py=0 由前面的讨论和例2.7的计算中，都可以看出来，如 果知道了二维随机变量（号，？）的联合分分布列，那么这 时号和？的边际分布列即可由联合分布列求出这件事 实直观上是容易理解的因为（飞，”）总体的规律性如果 确定了，那么它的个别分量的规律性当然也确定了」

例2.8 略)见P73 定义2.3 设离散型随机变量飞的可能取值为 a:位=1,2…)，7的可能取值为b(=1,2,…),如果对 任意的a:,b,有 P(5=a,7=b;）=P(5=a)P(0=b;） (2.18) 成立，则称离散型随机变量号和？是相互独立的在这个 例子中，号取什么值和？取什么值两者之间确实是互

不影响的，所以称它们相互独是可以理解的现在不难 把独性的概念推广到多个离散型随机变量的场合，这就 是下面的定义 定义2.4设51，…，5是n个离散型随机量，的可 能取值为a位=1，…，8，k=1,2,…） 如果对于任意的一组(a1k,…,a),恒有 P(5=a1k,…,58=a)=P(5=a1k）,…P(5=ak） k2.19y