上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第三章 连续形型随机变量 §3.3 多维随机变量及其分布

§3.3多维随机变量及其分布 前面讨论了一维连续型随机变量，如同第二章中所讨 论的多维离散型随机变量一样，还可以讨论多维连续 型随机变量，这里，我们仍从一般的多维随机变量定义 出发 定义3.3设51(0)，52()，…5()是定义在同一样本 空间上的随机变量，则n维向量(5()，2()，…5()) 称为是样本空间上的n维随机变量或n维随机向量.并称n 元函数 F(不1，x2…,不w） =p(5(0)<1,…,5a(0）

§ 3.3 多维随机变量及其分布  前面讨论了一维连续型随机变量,如同第二章中所讨 论的多维离散型随机变量一样,还可以讨论多维连续 型随机变量,这里,我们仍从一般的多维随机变量定义 出发

是n维随机变量(51()，52()，…5()的联合分布函徽，也 简称为联合分布或分布联合分布函数描述函数描述了多维 随机变量的统计规律.z 我们将着重讨论二维随机变量如果二维随机变量如果 (5,)表示笛卡儿平面上点的坐标，那么 F(x,y月=p(5<x,7<y) 就表示点（5，)落入任一矩形

{x1≤号<x2乃1≤”<2}中的概率可由概率的加法性质求 得：z 2(x1≤5<x3,乃≤7<x2） F(x2,y2)-F(x1》3)-F(x2,1)+F(1,乃) (3.25) 如同一维分布函效，还可以证明二维分布函数F(x,)具 有下述性质

(1)对x或y都是单调不减的； (2)对x或y都是左连续的即有： F(x,)=F(x-0,y） (3.26) F(x,y)=F(x,y-0) (3.27) (3)对任意的x和g,有gzS F(-co,y)）=li山mF(x,y=0 (3.28) F(x,-c∞)=inF(x,)=0

并且还有 F(+00,+00)=lim F(x,y)=1 +o (3.29) (4)； 对任意的（五，乃）和(x22)(其中x1<x,乃1<y2), 有 F(x2,y2)-F(x1y2)-F(x2,1)+F(x1,1)20 (3.30)zs

满足这四个条件的二元函数通常就称为二元联合分布函数. 如果二维随机变量(，)的联合分布函数F(x,)为已 知，那么它的两个分量与7的分布函数取可由F(x,y)求得， 因为有z F(x)=p(5<x)=p(5<x,7<o) F(x,o0) (3.31) 其中F(x,o)=imF(x,y)同理还有

F,(y)=F(oo,y) (3.32) 其中F(o,y)=imF(x,y)如同离散型情形，人们也称 F(x),F,0y)是联合分布F(x,)的边际分布函做，或称为边 际分布.z 类似于一维时的情形，下面将着重讨论二维的连续型随机 变量，这就是下述的定义， 定义3.4如果F(x,y)是一个联合分布函数，若存在函 数p(x,y)使得任意的(8，y),有

F(x.y)=p(u,v)dudv (3.33)gz 成立，则称F(x,y)是一个连续型的联合分布函数，并且称其 中的2(x,y)是F(x,)的联合率密函徽或简称为密度 如果二维随机变量(5，)的联合分布函数F(x,)是连 续型分布函数，就称，”)是二维的连续型随机变量

由分布函数的性质可知，任一二元密度函数p(x,y)必具 有下述性质： (1)p(x,y)20,z (②p(x,y)dk=F(+0,+o)=1 (3.3 反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数2(x,y),心定 可以作为某个二维随机变量的密度函做.此外密度函数还具 有性质：

(1)若2(x,y)在点(x,y)连续，F(x,)是相应的分布 函数则有 子F(x,2=p(x,月 8xdy (3.30 (2)若G是平面上的某一区域则z p((=p(x)dxd (3.37) 例如，若