上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 离散型随机变量 § 2.4 数学期望的定义及性质

§2.4数学期望的定义及性质 我们已经知道离散型随机变量的分布全面地描述了这 个随机变量的统计规律，但在许多实际总是中，这样的 全面描述有时并不使人感到方便举例来说，已知在一 个同一品种的母鸡群中，一只母鸡的年产蛋量是一个 随机变量，如果要比较两个品种母鸡的年产蛋量通只 要比较这两个品种的母的年产蛋量的平均值就可以了。 平均值大就意味着这个品种的母鸡产蛋量高，当然是 较好的品种，这时如果不去比较它们的平均值，而只 看它们的分布列，虽然全面，去合人不得要领，既难 以掌握，又难以迅速地作出判断这样的例子可以举 出很多：例如要比较不同班级的学习成绩，通常就比较 考试中的平均成绩；要比较不同地区的粮食收成，一般 也只要比较平均亩产量等既然平均值这么有用，那是 值得花力气来研究一番的.gzs

§ 2.4 数学期望的定义及性质 我们已经知道离散型随机变量的分布全面地描述了这 个随机变量的统计规律,但在许多实际总是中,这样的 全面描述有时并不使人感到方便.举例来说,已知在一 个同一品种的母鸡群中,一只母鸡的年产蛋量是一个 随机变量,如果要比较两个品种母鸡的年产蛋量通只 要比较这两个品种的母的年产蛋量的平均值就可以了。 平均值大就意味着这个品种的母鸡产蛋量高，当然是 较好的品种，这时如果不去比较它们的平均值，而只 看它们的分布列，虽然全面，去合人不得要领，既难 以掌握，又难以迅速地作出判断.这样的例子可以举 出很多:例如要比较不同班级的学习成绩,通常就比较 考试中的平均成绩;要比较不同地区的粮食收成,一般 也只要比较平均亩产量等.既然平均值这么有用,那是 值得花力气来研究一番的. gjzsj

例2.13咯)见P79 例2.14若随机变量飞服从二项分布 b(;2,p),试求它的数学期望E 解 这时 及=G=-[0ss 所以 D

2-1 = t-g(a-2-- =P(p+g)=2 (2.22) gizs] 例2.15咯)P80 定义2.5 若离散型随机变量可能取值为 a:位=1,2，…)，其分布列为=1,2，)，则当 会1aA<0 (2.24)

称存在数学期望，并且数学期望为 E5= (2.25) 如果 |a:2:=o il 则称的数学期望不存在.z© 对于这个定义，读者也许会问既然数学期望

对于这个定义，读者也许会问，既然数学期望 E5=∑aP:,那么只要∑aP;收剑蹴可以了， i-l i-l 为什么还要求 la:h<o gizs i-1 是不是有点多余？我们已经知道，离散型随机变 量的取值是可依某种次序一一列举的，对同一个

定理22若号是一个离散型随机变量，其分 布列为 5 41 42 P Pi 又 )是实变量x的单值函数，如果 ∑|a:p<co则有 Eg(5)-∑g(a)2p: gjzsj i_n

定理2.3 若（号，”）是一个二维离散型随 机变量，其联合分布列为 p(5=41,7=bg）=2w,,j=1,2… 又g(x,y)是实变量x,y的单值函数如果 会ea,Py<“ 则有

®g(5,m)=∑∑ga,b;)P (2.27) i11 对一般的n维随变量的函数，也有相应的定 理成立，这里就不再叙述了.由于这些定理，在求 离散型随机变量函数的数学期望时，就可以直接 利用原来随机变量的分布，而不必先求随机变量 函数的分布列.zs 现在进一步讨论数学期望的性质.随机变量 的数学期望具有下述基本性质：

(1)若a≤号≤b,则E号存在，且有 《≤E号≤b.特别，若C是一个常数，则 EC-C (2)对于一二维离散型随机变量（号，7），若 E,E”存在，则对任意的实数 k1,k2,(民15，k2)存在且

E(欣15+k27)=1E5+k2E5 (2.28) (3)又若号，7是相互独立的，则E号7存在且 E(5)=E5·E” (2.29) 性质(1)的证明是显然的，下面证明性质(2)和 (3) 设（号，？）的联合分布列和边际分布列为： P(5=4,7=b）=P,,j