上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 离散型随机变量 §2.5 方差的定义及性质

§2.5方差的定义及性质 我们已经知道数学期望反映了随机变量 的平均值，在许多实际问题中，只要知道 这个平均值就可以了，但是数学期望毕 竟只能反映平均值，有很大的局限性，在 某些场合中，仅仅知道平均值是不够的， 还是以手表的日走时误差为例，如果有 甲，乙两种牌号的手表，它们的日走时误 差分别为和 各具有如下的分布列：

§ 2.5 方差的定义及性质  我们已经知道数学期望反映了随机变量 的平均值,在许多实际问题中,只要知道 这个平均值就可以了,但是数学期望毕 竟只能反映平均值,有很大的局限性,在 某些场合中,仅仅知道平均值是不够的, 还是以手表的日走时误差为例,如果有 甲,乙两种牌号的手表,它们的日走时误 差分别为 和  1 各具有如下的分布列  2 :

- 0.1 0.8 「-2 -1 2 52 0.10.2 0.40.2 0.1 容易验证，这时有E=E=0从数学期望去看这 两种牌号的手表，是分不出它们的优劣的.如果仔细观 察一下这两个分布列，就会得出结论：甲牌号的手表要 优于乙牌号.保以见得呢？

先讨论牌号甲已知E号=0，从分布列可知，大部分 手表的日走时误差为0，有少部分手表的日走时误差分 散在E5的两侧，再看牌号乙，虽然也有E52=0,但是只 有少部分的日走时误差为0却大部分分散在E5的两 侧，而且分散的范围也比甲牌号的范围大.由此看来，两 种牌号的手表中牌号甲的手表日走时误差此较稳定，所 以牌号甲此牌号乙好对于这样的评论，读者可能会觉 得有点罗唆.那么是否可以用一个数字指标来衡量一个 随机变量离开它的期望值的偏离程度呢？这正是本节 所要讨论的问题

如果是要讨论的随机变量，E是它的数学期望 这时1号-E引 就衡量了随机变量和它的数学期望E号之间偏差的 大小，但是绝对值运算有许多不便之处，人们便用 (传-)2去衡量这个偏差.但是（传-E)2是一个随 机变量，应该用它的平均值，即明（传-E)这个数值来

衡量离开它的平均值E的偏离程度.为此，引入下述 定义 定义2.6设号是一个离散型随机变量，数学期望 E存在，如果（飞-E)2存在，则称(E-)2为随机 变量E的方差，并记D5.gzs 方差的平方根D又称为标准差或根方差，常记 为σ在现实问题中标准差用得很广泛，其优点是它与

则由定理2.2可得 De=E(-Be) (a,-8p gizs1 i-l a-245+a4 =E52-(E)2 (2.30)

这是一个常用的计算方差的公式 现在不妨来计算一-下前述甲，乙两种牌号手表的 日走时误差的方差，由于E写=E=0,利佣上述公式有 D5=8=(←12.0.1+02.0,8+12.01=0.2 D52=E8=(-2)2.0.1+(-1)2.0.2+02.04+12.02+22.0.1=1.2 显然有D<D,故牌号甲优于牌号乙这样的此较此

起前面的大段议论当然要简洁得多了由此可知，数学 期望和方差是随机变量基本些特性的数值标志，因而常 常称它们是随机变量的数字特征随机变量还有许多其 它的数字特征，而数学期望和方差是最基本和最常用的 两个数字特征 例217若服从参数为2的普哇松分布，试求 D5. 解已知E=，而

E2=7i i (位-1)川 e g29 小0= 由(2.30即得 D5=E2-(E)2=2+-2=A

由此可知普哇松分布的随机变量的方差恰为该分 布的参数兄 由方差的定义可知方差本身也是一个数学期望所 以由数学期望的性质可以扒出方差有下述常用的基本 性质 (1)若C是常数则DC=0; (2)若C是常数，则D(C)=C2.D5 (3)若号，？是两个相互独立的随机变量，且 D,D7存在，则z D(5+)=D5+D7 (2.31)