上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第六章 点估计 §6.5 罗—勃拉克维尔定理和一致最小方差无偏估计

§6.5罗一勃拉克维尔定理和 一致最小方差无偏估计 在前两节中我们看到有效估计平均说来是此较接近参 数真值日的一个估计，但并不是每个参数都能有有效估计， 因为不是任何无偏估计都能达到罗一克拉美不等式下界，为 此我们必须研究这样两个问题，一个问题是如果知道一个无 偏估计，能否构造一个新的无偏估计，其方差比原来估计的 方差小，罗一勃拉克维尔定理给出了一种改善估计的方法： 另一个问题是一个无偏估计虽不是有效估计，但是可考察它 的方差在一切无偏估计类中能够达到最小的条件

§6.5 罗―勃拉克维尔定理和 一致最小方差无偏估计

定理6.5 (罗勃拉克维尔定理)设号与门是两个 随机变量，E门=l和D门>0。设=x条件下7的条件期望 E{川5=X)=(x)则z 可)]=L,D[)]sD7 (6.54) (证明略) 例6.22 设专与刀服从二维正态 机4，，σ，σ，P),这里4,5分别为它们的均值，分

别为它们的方差而0为它们的相关系数，且-1<p<1. 在第三章中我们知道维分布的联合密度函效 f(x,月= - 21-p2)g =(x) 两。o20-G0-明

其中边际分布密度函数 1 i(x)= exp(- x-02 C2W/2π02 201 和 收要会 条件期望 7 x)=7川5=x=h(0y川xd的

(y-6)2 ye- 201-p2 21-o2)a -lhto C2(x-41） (x)的数学期望 E5=h+p2(x-41)上h 而方差

E5)=(5-5]2 6-4) =Io2g =p2<p2=D门 当然这一只能起定理的直观解释作用，实际用处不大，因为 只要五个参数中有一个未知，（月就不能是一个统计量。它 包含这一未知参数，当然不能作为参数的估计。 罗一勃拉克维尔定理能有助于我们寻找未知参数的较 优良的估计，它可以引出如下定理

定理6.5设1,52， 5为取自一个母 体的子样。具有概率函数fc,),日∈⊙，设 门1=41（与1，专2,5m)是日的-个充分统计量， 门2=2(51,52，，5m)不仅是门1的函数，且 E门2=0，则E(门2|门1）=(71)是日的充分统计量的函 数，其均值[7)]和方差D☑)]D门2·（证明略）

这个定理给我们一个寻找较优良估计的方法。如果未知 参数日有一个充分统计量刀1，我们可以限制在充分统计量门1 的函数中去寻找。在门，的函数中先找出日的无偏估计，然后 此较其方差。也可以先从的一个无偏估计门2出发，注意 这个72不仅是几的函数，然后求出E(7271)。以E (门2|71)作估计量一定比原来的7，有较小的方差。 那么能否在无偏估计类的全体中找到一个达到最小方 差的无偏估计呢？先给出一个定义

定义6.8设51，号2，…，5m是取自具有概 率函数c,)，日∈⊙的母体号的一个子样。 刀1=弘1(51，专2，，5m称为参数日的一致最小方 差无偏估计，若门1是8的一个无偏估计，取E刀1=日，且对 一切8∈⊙和任何-个无偏估计刀2=2(51，号2，…， 号m),刀1的方差不大于刀2的方差，即 Dn]Dn2 (6.60)

系设刀1=1(51,52，…，5a)是8∈⊙的- 个充分统计量，（们）是8的唯一一个可以表示为几，的函数 的无偏估计，则（仍）是8的一个一致最小方差无偏估计。 (证明略) 例6.23（略）