南京大学：《计算方法 Numerical method》课程教学资源（课件讲稿）牛顿法、插值

回顾 方程求根：给定f,求x使得f(x)=0 -连续函数：二分法 - 1-Lipschitz:转换为不动点迭代方程后使用不动点迭代法 -根的敏感性 这节课： 一可导且导涵数也已知：牛顿法，二次收敛 -插值(Interpolation):给定一些不完整的观察值，想要推理出全景 图像 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0 20 3040 4

回顾 • 方程求根：给定�，求�使得�(�) = 0 – 连续函数：二分法 – 1-Lipschitz: 转换为不动点迭代方程后使用不动点迭代法 – 根的敏感性 • 这节课： – 可导且导函数也已知：牛顿法，二次收敛 – 插值(Interpolation)：给定一些不完整的观察值，想要推理出全景 图像 4

牛顿法 给定f可导且导函数f'也已知，求x使得f(x)=0 Figure 1.8 One step of Newton's Method.Starting with xo.the tangent line to the curve y=fx)is drawn.The intersection point with the x-axis is x,the next approximation to the root. 牛顿方法： xo:初始估计 f(xk) Xk+1=Xk- ,k=0,1,2. f'(xk 5

牛顿法 5 给定�可导且导函数�′也已知 ，求�使得�(�) = 0 牛顿方法： �!:初始估计 �"#$ = �" − � �" �% �" , � = 0,1,2 …

牛顿法的二次收敛(Quadratic convergence) 记e:=lx:一r为i次迭代的误差 局部收敛：在某个足够小的邻域里面，任意的初始值都 会收敛 二次收敛：如果M=即号<0，月 称该迭代方法二 次收敛。 定理.如果f二次可导且f'(r)≠0，其中r满足f(r)=0,那 么牛顿法在局部二次收敛到r,且 ei+1 e子 6

牛顿法的二次收敛 (Quadratic convergence) 记�/ = �/ − � 为i次迭代的误差 • 局部收敛：在某个足够小的邻域里面，任意的初始值都 会收敛 • 二次收敛：如果� = lim /→1 2!"# 2! $ < ∞，则称该迭代方法二 次收敛。 定理. 如果�二次可导且�! � ≠ 0，其中�满足� � = 0，那 么牛顿法在局部二次收敛到�，且 lim /→1 �/34 �/ 5 = �66 � 2�6 � 6

牛顿法的二次收敛分析：不动点方程 定理.如果f二次连续可导且f'(r)≠0，其中r满足fr)=0,那么 牛顿法在扃部二次收敛到，且 lim +1= f"(r) i-→00 e 2f'(r) 证明：首先注意到牛顿法等价于以下不动点方程xk+1=g(x), 其中g(x)=x- ·g的不动点对应于f的根。 f(x) g'(x)=1- f'(x)2-f(x)f"(x)f(x)f"(x) f'(x)2 f'(x)2 在g的不动点处，有g(r)=0.因此牛顿法是局部收敛的

牛顿法的二次收敛分析：不动点方程 定理. 如果�二次连续可导且�! � ≠ 0，其中�满足� � = 0，那么 牛顿法在局部二次收敛到�，且 lim /→1 �/34 �/ 5 = �66 � 2�6 � 证明：首先注意到牛顿法等价于以下不动点方程�734 = �(�7), 其中� � = � − 8 9 8% 9 . �的不动点对应于�的根。 �6 � = 1 − �6 � 5 − � � �66 � �6 � 5 = � � �66 � �6 � 5 . 在�的不动点处， 有�6 � = 0. 因此牛顿法是局部收敛的。 7

牛顿法的二次收敛分析 定理.如果f二次可导且f'()≠0，其中r满足f)=0,那么牛顿法在局部二次收敛到r,且 lim ei+1 f"(r) e 2f'r) 证明：考虑第i次迭代，在r处进行Taylor展开有： fr))(").for some5 2 因为r满足f(r)=0,化简得到 f(xi) Xi- -=-xf") f'(x) 2 f'(xi) 回顾牛顿法的迭代方程： eit1 1xit1 -rl e2 f"() 2f'(x) 由局部收敛可知，只要足够的接近r,则有x→r且→r。由f”和f'的连续性可知 f"(ξ) f"(r) lim ei+1 i→00 S3 lim 2f'(x:) 2f'(r) 8

牛顿法的二次收敛分析 定理. 如果�二次可导且�! � ≠ 0，其中�满足� � = 0，那么牛顿法在局部二次收敛到�，且 lim !→# �!$% �! & = �'' � 2�' � 证明：考虑第�次迭代，在�处进行Taylor展开有： � � = � �! + � − �! �' �! + � − �! & 2 �'' �! , for some �! 因为�满足� � = 0，化简得到 �! − � �! �' �! − � = � − �! & 2 �'' �! �' �! 回顾牛顿法的迭代方程： �!$% = |�!$% − �| = �! & �'' �! 2�' �! 由局部收敛可知，只要足够的接近�， 则有�! → �且�! → �。由�''和�' 的连续性可知 lim !→# �!$% �! & = lim !→# �'' �! 2�' �! = �'' � 2�' � 8

牛顿法的变种 牛顿法只用到了一阶导数的信息 -注：二次收敛的分析也可以在只假设f'是c-Lipschitz的情况下进行 - 如果使用更高阶的导数呢？例如，并不只是考虑切线，而是在局部做一个二 次曲线的近似 牛顿法更容易推广到高维，可以解决多变量的求根问题/最优化问题 然而导数可能并不容易求解：割线法(secant method),quasi--newton method -Secant method:)(1.2. f(xk)-f(xk-1) -Convergence rate of Secant method:1.618 quasi-newton method非常常见的一个实现是Broyden-Fletcher--Goldfarb-Shanno (BFGS)算法 ·现实中，往往会结合二分法和牛顿/割线法（如Dekker/Brent方法） -二分法可以保证全局收敛 一 牛顿/割线法可以保证在足够接近解的时候，更快速地收敛到需要的精度 9

牛顿法的变种 • 牛顿法只用到了一阶导数的信息 – 注：二次收敛的分析也可以在只假设�' 是C-Lipschitz的情况下进行 – 如果使用更高阶的导数呢？例如，并不只是考虑切线，而是在局部做一个二 次曲线的近似 • 牛顿法更容易推广到高维，可以解决多变量的求根问题/最优化问题 • 然而导数可能并不容易求解：割线法 (secant method)，quasi-newton method – Secant method: �"#$ = �" − & '" '"('"#$ & '" (& '"#$ , � = 1,2, … – Convergence rate of Secant method: $# ) * ≈ 1.618 – quasi-newton method非常常见的一个实现是Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)算法 • 现实中，往往会结合二分法和牛顿/割线法（如Dekker/Brent方法） – 二分法可以保证全局收敛 – 牛顿/割线法可以保证在足够接近解的时候，更快速地收敛到需要的精度 9

插值是为了什么？ 1.0 104 0.5 1000 四 -0.5 10 -1.0 1020 sin(x) 素数的个数 Log-Log plot of f(x)=x3 r=2a(1- =2a(1-in】 y'=In f(x)=3In x x'=Inx y'=3x' r =2a(1 +008p) r=2a(1+np) 心形线(Cardioid) 旋转照片 Source:Wikipedia CC-BY-SA 4.0 旋转360度后照片一样吗？ 10

插值是为了什么？ 10 sin(�) 素数的个数 Log-Log plot of �(�) = �+ �’ = ln �(�) = 3 ln � �’ = ln � �’ = 3�’ 心形线(Cardioid) Source:Wikipedia CC-BY-SA 4.0 旋转照片 旋转360度后照片一样吗？

嫩细 插值是为了什么？ 1.0 104 0.5 1000 100 0 -0.5 10 -1.0 10 20 60 sin(x) 素数的个数 Log-Log plot of f(x)=x3 =21-c080 y'=In f(x)=3Inx x'=Inx y'=3x r=2(1+008 r=2a(1+i9} 为什么想要连续性？好看？ 心形线(Cardioid) 疋转照片 Source:Wikipedia CC-BY-SA 4.0 旋转360度后照片一样吗？ 11

插值是为了什么？ 11 sin(�) 素数的个数 Log-Log plot of �(�) = �+ �’ = ln �(�) = 3 ln � �’ = ln � �’ = 3�’ 心形线(Cardioid) Source:Wikipedia CC-BY-SA 4.0 旋转照片 旋转360度后照片一样吗？ 为什么想要连续性？好看？

插值的连续性 回顾一下不连续函数的数值稳定性： 给定函数f 输入：x+△x 计算：f(x) f(x+△x)-f(x)≈△xf'(x) 在函数不连续性的点上，数值可能非常不稳定！ 更进一步的处理，往往需要更高阶的导数 12

插值的连续性 • 回顾一下不连续函数的数值稳定性： • 给定函数� • 输入： � + Δ� • 计算：�(�) � � + Δ� − � � ≈ Δ� �′(�) 更进一步的处理，往往需要更高阶的导数 12 在函数不连续性的点上，数值可能非常不稳定！

用什么插值？ 多项式定义： p(x)=ao ax+azx2+a3x3+..+anxn ao,a1,…,an称为多项式的系数 ·若an≠0，则称n为多项式的次数 ·常用表达形式（代数基本定理）： p(x)=an(x-r1)(x-r2)...(x-mn) ”一般来说1，r2,…,可能是复数，复数根总是成对出现的 ·为什么使用多项式？如果使用物理电路插值呢？神经网络呢？ -回顾Taylor展开，也是多项式 -Taylor展开一般只关注一个点上的近似多项式 -Weierstrass定理：对于连续函数，多项式可以任意地逼近。 13

用什么插值？ • 多项式定义： � � = �! + �$� + �*�* + �+�+ + ⋯ + �,�, • �!, �$, … , �,称为多项式的系数 • 若�, ≠ 0, 则称�为多项式的次数 • 常用表达形式（代数基本定理）： � � = �, � − �$ � − �* … (� − �,) • 一般来说�$, �*, … , �,可能是复数，复数根总是成对出现的 • 为什么使用多项式？如果使用物理电路插值呢？神经网络呢？ – 回顾Taylor展开，也是多项式 – Taylor展开一般只关注一个点上的近似多项式 – Weierstrass 定理: 对于连续函数，多项式可以任意地逼近。 13