上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第六章 点估计 §6.3 罗—克拉美不等式

§6.3罗一克拉美不等式 前面两节中我们介绍了矩法估计和极大似然估计，并讨 论了估计量的优良性质；一致性和无偏性，现在我们再来讨 论一个更直观而重要的性质。 我们绍道，方差是一个随机变量门落在它的均值E门的 邻域内的集中或分散程度一个度量，所以一个好的估计量， 不仅仅应该是待估参数日的无偏估计，而且应该有尽可能小 的方差。因此，若参数日有两个无偏估计量色和色，且对一

§6.3 罗—克拉美不等式

切日∈重有D()≤D(月)，则作为的8估计，a此a 好。 定义6.3若参数有两个偏估计月和自，且对一切日 ∈④有D(色)≤D(月)，则称估计月此a有效。 在例66中知道8的极大似然估计2=5(m),显然它 不是8的无偏估计，但是当n→0时，Ea2→日，所以 是8的一个渐近无偏估计。日，的方差

D(82） (2+1)(2+2) 若我们令日-+1.显然日，是日的无偏估计， 其方差 D()-D心+1a,)=1 日2 a(a+2) 由此得出，当n≥2时，无偏估计此z无偏估计有效。 我们自然有这样一个想法，就是希望估计量的方差愈小 愈好。那么能够小到什么程度呢？也就是有没有下界？什么

条件下方差下界存在？下面我们就来讨论建立一个方差下界 的罗一克拉美不等式。 罗一克拉美不等式 设51，2，… 为取 自具有概率函数f(x;),8∈⊙=(a<8b)的母体号的 一个子样，a,b为已知常数，可以设a=-o,b=o。又刀=u (与1，…，号为)g(0是的一个无偏估计，且满足正则 条件： (1)集合{x,f(x,)}与8无关： (2)g间与(@存在，且对-切9∈⊙， ae

0:k=jeg9a ae (6.23) 0f-j,,9-fa =j-jw,,）0f6rk62w (3)令 K9EgG:⑨，0 ae 称为信息呈，则

D7≥[g(8]2 (6.25) 81(8) 且等式成立的充要条件为存在一个不依赖于1，专2，， m,但可能依赖于8的K使得等式 dlog f() =K(门-g(0)） (6.26) ae 以概率1成立。 特别当g（0)=8时，不等式(6.25)化为 1 D87≥ (6.27) 21(8)

这个不等式工罗和克拉美在差不多的时候提出，所以现 在就称它为罗一克拉美不等式，也称做信息不等式.（证明略） 有时我们称满足上述两个正则条件(1)和(2)的估计 量门为正规估计。由此我们看到，罗一克拉美不等式所规定 的下界不是整个无偏估计类的方差下界，而是无偏估计类中 一个子集一正规无偏估计类的方差下界。 为了计算信息量〔)方便起见，我们证明一个重要性 质。 性质 若 ae 882 (6.36) 则

8)=-E[ 1ogf5巴1 (6.37) ∂8 对于方差达到罗一克拉美不等式下界的估计，我们给它一个 名称如下。 定义6.4若8的一个无偏估计8使罗一克拉美不等 式中等式 D0= n代 2a 成立，则称日为日的有放估计

定义6.5若为8的一个无偏估计，且罗一克拉美 不等式下界存在，则称D)与8)的此s (6.37) D(8:) 为估计司，的有效率，这里重8瓜(31og了（传92）1： (例题略) 定义6.6当n→o时，一个估计的有效率e→1， 则称8为参数日的淅近有放估计

系满足定理61中条件得出的估计是渐近有效估计，因此 它是渐近正态、渐近无偏、渐近有效估计。 从这个系可以推出正态母体中参数口的极大似然估计S号 是渐近正态、渐近有效、渐近无偏的