上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第六章 点估计 §6.4 充分统计量

§6.4 充分统计量 我们先分析一下上节中导出的罗一克拉美不等式中等号 成立的充要条件(6.26)。 log f(; 日) =K(1-0) L1 a0 其中K不依赖于 51, 2 72 而可能依赖于θ。 对这等式两端求对的积分 log f(;) d0=A(0)n+B(0)+C（51, a 5 2 S 72

或者 1ogL=1ogΠf(x;)=A(⊙)y+B()+C(X1, i-1 X2,…,Xw） (6.43) 这里y=u(区1，X2，…,X)。由此得出，似然函数L (X1,X2,…,X)有形状 Le4(),+B(9)hX1,X2,…, (6.44)

这里h(X1,X2,…,X:)=eCW不依赖于， A(8)和B(8)只是日的函数，所以使罗一克拉美不等式中等 号成立的条件有下列两个： (1)似然还数L能分解成两个因子，即 L(8:X1,…,Xx）=gy;8)h(X1, X2,…,X然） (6.45) 其中第一个因子只依赖于y和B,第二个因子在y值已知时不 依赖于8； (2)第一个因子有指数型分布

A(),+B(8) g(y;0)=e (6.46) 满足条件(1)的统计量称为参数8的充分统计量.满足 条件(2)的门的分布为指数型分布。反过来，如果一个无偏估 计是充分的，且其分布为指数型，那么这个就是一个有效估 计。下面我们将分别研究充分统计量和指数型分布。 在引入充分统计量的概念以前，我们先说明了的直观含 义。 我们知道统计量是子样的函数，它把子样中所含的有关

所研究问题的信息集中起来作为我们进行统计推断的依据。 由于统计量有很多，那么怎样的统计量是最佳的呢？直观的 想法是，一方面要尽可能地简单，另一方面又要能提供子样 所含的“全部信息”。 怎样理解“全部信息”呢？在数理统计学中，子样1， 专2，一，专m给我们提供了母体的信息。如果母体的概 率函数依赖于参数日，子样当然也包含日的信息，但是依赖 于子样的统计量脚不一定包含日的全部信息。例如在一般 情形下，子样的联合概率还数（即似然还数）能分解成

L(8;x1,…,Xx）=gy:8)h(X1,X2,…,Xw） h(X1,X…,Xx;8)是条件门=y下的条件概率函数， 它一般是依赖于8的函数.如果8未知，hX1,X…,x;8) 也就不可能知道，这时统计量门并没有反映子样所含有的“全 部信息”，只有在不依赖于日时，统计量才反映了子样的“全 部信息”。正因为这一点，费歇命名这种反映“全部信息”的 统计量为充分统计量

例6.15（略） 从上面(6.44)式和例6.15看到，1门为8的一个充分统 计量，子样的联合概率函做L应该分解成两个因子，一个因 子与门的概率函数有关，它可以依赖于未知参数日，而另一 个因子应该是条件下子样51，与2，”，。 的条件 概率还数，它与8无关。由此我们引出充分统计量的定义

定义67设51,52，”5m是取自具有概率 函数fc,),日∈⊙的母体的一个容量为n的子样。设 门=以(51,2，”号)是一个统计量，有概率函数 gy,0。若 j,f(,9…fx,0=l818,） (6.47) g[u(1,…,x）]

成立，且每当u(1，…，Xx)取一固定值时，门y发 生条件下的条件概率函数h(X1,…,X:）不依赖于日，则 称门为8的一个充分估计量。 例6.16 设母体专有密度函数 ca=6w”,0<x<o,0eoo 0,其他 和5(1)<5(2)<<5(m)是取自这个母体的子样的 次序统计量

由第五章定理5.5系2知最小次序统计量5（1)的密度 函数为 ne-n-)e<y<oo g0y= 0,其他 于是 -∑x+e f:…f9_g 8- i-1 i-1 g0;) 2e-p) 2e*血若) ,(1<in) (6.48)