上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第五章 数理统计的基本概念 §5.2 统计量及其分布

$5.2统计量及其分布 。上一节中知道子样是母体的反映，但是子样所 含作息不能直接用于解决我们所要研究的问题， 而需要把子样所含的信息进行数学上的加工使 其浓缩起来，从而解决我们的问题。这在数理 统计学中往往通过构造一个合适的依赖于子样 的函数一统计量一来达到的。 定义5.1一个统计量是子样的一个函数，如果 子样容量为n,它也就是n个随机变量的函数， 并且要求这个函数是不依赖于任何未知参数的 随机变量。统计量的分布称为抽样分布

§5.2统计量及其分布 上一节中知道子样是母体的反映，但是子样所 含作息不能直接用于解决我们所要研究的问题， 而需要把子样所含的信息进行数学上的加工使 其浓缩起来，从而解决我们的问题。这在数理 统计学中往往通过构造一个合适的依赖于子样 的函数—统计量—来达到的。gjzsj 定义5.1 一个统计量是子样的一个函数，如果 子样容量为n，它也就是n个随机变量的函数， 并且要求这个函数是不依赖于任何未知参数的 随机变量。统计量的分布称为抽样分布

定义5.1一个统计量是子样的一个函数，如果子样容量 为，它也就是n个随机变量的函数，并且要求这个函数是 不依赖于任何未知参数的随机变量。统计量的分布称为抽样 分布。1z81 按照这一定义，随机变量=∑5：是一个统计量，前 节中提到的经验分布函数F,(x)也是一个统计量，但当4、 G2未知时，刀；=员-4 就不是一个统计量，这是1， 2，”，是一个子样，必须指出的是，尽管一个统

计量不依赖于任何未知参数，但是它的分布可能是依赖于未 知参数的。gzs 下面我们定义一些常用的统计量。 定义52设51,52，…，与是由母体5取出 的容量为n的子样，统计量 5- (5.3) 2 称做子样均值；统计量 (5.4) 8i1

称做子样的方差；统计量 (5.5) 称做子样的k阶矩；统计量z m=1-月 (5.6) 8i1 称做子样的k阶中心矩；统计量 若(X1,X2,…,Xx)是子样51，专2，… 专的一组观测值，则

1 X (5.7) 2 1 和 gizs] (5.8) 2i1 分别为子样均值方差S号的观测值。 统计量是子样的函数，它的抽样分布函数可以从子样的 联合分布函数推出，设51,2，专m和刀1，刀2

”是取自正态母体W(0,1)的容量分别为n和m的两个子 样，那么s 微 t=> 71 F= % 52 都是统计量。根据前面§3.4，它们的抽样分布分别为x2 (n)分布、tn)分布、F(m,n)分布。这些抽样分布今后 在分设检验和区间估计中不止一次地要用到

由于子样均值￡与子样方差S这两个统计童在数理 统计学中的重要作用，我们将详细地推导它们的分布，先给 出它们不依赖于母体分布具体形式的两个性质。 定理5.1设母体的分布函数F(x)具有二阶矩， 即E5=l<0。若乡1,52，…， 是取自这一母 体的一个子样，则子样均值号的数学期望与方差分别为 E= (5.9)

D=02 (5.10) 若假设母体的原点矩，=E5*和中心矩4，= E(5-U),k=1,2,3,4都存在，则子样方差的数 学期望和方差依次为z 2-1 ()45 6.24-2,凸-站 2 22 (5.10a) 并且子样均值与子样方差的协方差为

2-1 21 一个随机向量=(51，专2，…，专a)经过- 个线性变换得到一个随机向量门=(71，刀2,3，，7)， 这两个随机向量的数学期望和相关矩陈之间的关系由下列定 理给出。 定理5.2设=（51，号2，，5m),门'= (1:2,3,…,刀.)为两个随机向量，且设刀=A号， 其中A=()内一个n×n阶方阵，则有

E号=A(E号) D门=A(D)A' (5.11) 定理5.3 设母体5限以正态分布N(山，￠.（证 明略)gzs 现在我们来推导子样方差的分布。 定理5.4设51，号2，%，号m是正态母体N(儿， 口)的一个子样，其子样均值与子样方差分别为 2