上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第七章 假设检验 §7.3 正态母体参数的置信区间

§7.3正态母体参数的置信 区间 在第六章中我们看到，假设日=日(5，…，)是未知参 数日的个点估计，那末一旦获得人们一个子样观察什 (1,…,x),估计值日（不1，…，x)能给人们一个明确的数量 概念这是很有用的但仔细想一想，就会感觉到这还是不够的 因为点估计值只是日的一种近似值，而点估计本身既没有反 映这种近议值的精确度又不知道它的误差范围并且在数理 统计学中光指估计日的误差范围'△还是不够的，必须指出

§ 7.3 正态母体参数的置信 区间

以多大概率，这个区间（日-A,日+△）泡含未知数日才行这 一类带有一定概率的区间，以后称作置信区间，它在实际中也 是常常要用到的 定义7.1设母体具有概率函数fx,日)，日为未知参 数5，…，5为取自这个母体的子样若对于事先给定的 &,0<a<1,存在两个统计量日〔1，…，5)和8(51，…，5 使得 P(5,…,5)<9<8(5,…,5)》=1-风 (7.8) 则称区间(8,8)为参数8的置信度为1-x的置信区间

和8分另称为置度1-x置信下限和置信上限， 由定义知道，置信区间(8，)是一个随机区间，并且它的 两个端点都是不依赖未知参数日的随机变量，应着重指出的 是，等式(7.8)的含意是指在重复取样下，将得到许多不同的区 间（日(x1,…,x,8(不1，…，x》,根据贝努力大数定律，这些 区间中大约有10(1-)%的区间包含未知参数.但对于一次 抽样所得到的一个区间，决不能说不等式 日(x1,,x)K日<(1，…，x) 成立的概率为1-&.因为这时日(x1,…,x）,(x1,…,x)是

两个确定的数，从而只有两种可能，要开这个区间包含日：要末 这个区间不包含日.因此定义来说区间（日 (1,…,x),(x1,…,x》属于包含未知参数日的区间类的 置信度是1-化.所以提置信度以示与概率有所不同，其理由即 在于此 那末，在实际问题中如何寻求置信区间呢？让我们看一个 例子 例7.7设轴承内环的锻压零件的平均高度ξ服从正态 分布Nμ，0.42)现在从中抽取20只内环，其平均高度x=32.3 毫米.求内环平均高度的置信度为95%的置信区间

解 我们知道子样的均值号是母体均值μ的点估计由 此构造一个子样函数 U-E-a (0=0.4) 它含有求置信区间的未知参数μ，但它的分布N0,1)不含有任 何未知参数.故对于给定的置信度1-化，可以查表得出相应的 分位点4。，使得 P(Uk4.)=1-&

利用不等式变形可得它的等价形式为 R-Ag U<h)-1-a (7.9) 或 5 于是 PG-4.<<+A (7.10) 2W 这样，我们得到置信度1.&的置信区间

我 们 这 里 1&=5%,&-1059-025查正态，D表得到 4975=1.96.由子样观察值得到的x=32.3.σ=0.4.n=20算得 0.4 x-40925T斤=32.3-1.96 =32.12 √20 +4gs9=23+1.96X 0.4 =32.48 20 所以μ的一个置信区间为(32.12,32.48)

由这个例子可以看出，寻求未知参灵敏日的置信区间一般 可通过下列三个步骤得到： (1)寻找子样(51，…，5%)的一个函做 μ(51，…，58；日） 它只含所要置信区间的未知参数日而不含其它未知参数，且 其分布也不含任何未知参数（当然也不包括等估参数日）.在不 少场合，这个还函数可以从未知参数点估计经过变换获得； (2)对于给出的置信度1-心，确定分位点.这里由于还函数山 (51,…,5;日)的分布不含有任何未知参数所以一般 地说，这种分位点是可以算出的，特别，在(1)中确定函 数μ时，往往选择这样的函数μ，使得其分布是有表可 查的常用分布

(3)利用不等式变形求得未知参数日的置信区间. 上述例7.7给出了正态母体σ2已知时均值μ的置信区间， 当σ未知时，我们完全如假设检验中所做的一样，用方差的 无偏估计心”=】 （传-）2代替母体方差σ2这时我 8-1 们构造的子样拯函数为 5-4 (7.1) S

它只含有参数μ，而且它所服从的自由度为n-1的t-分布不依 赖于任何参数 在给定置信度1-仪下，我们得到 这里t.(2-1)是由查自由度为n-1的t-分布表得到，利用不 等式变形 f-0<5-6 <t.(2-1) 得到μ的置信度为1-仪的置信区间