上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 离散型随机变量 § 2.6 条件分布与条件数学期望

§2.6条件分布与条件数学期望 我们已经知道随机变量的分布列全面地描述了随 机变量的统计规律，如果要同时研究两个随机变量，就 需要它们的联合分布列设二维随机变量为(，”)，其可 能的取值为(a1,b;),i,j=1,2…在例2.7中，为了计算 联合分布列，曾得用条件概率的公式，也就是： P(5=4,0=,）=P(5=4:7=b,)P(0=b;) 其中p(5=a:|”=b;)是表示”=b,的条件

§ 2.6 条件分布与条件数学期望

下，5=a的概率，常常记作21，当固定j而变动i时，可 以得到-列Pv,i=1,2,…,容易验证有 (1)p20,i=1,2,… (2v=1 i】 这说明(P,i=1,2,…}具有分布列的两个性质事实

上，(2v,i=12,…}确是-个分布列，它描写了在 ”=b,的条件下，随机变量的统计规律当然，一般说 来这个分布列与原来的分布列2：不同，称为条件分 布列如果（号，”）的联合分布列为P:为已知，则边际分 布列为zs Pi i-0

由此即可求得条件分布列 P过 P= (2.32) Pi 由对称性还有 Pi= P订 (2.33) Pi 反过来，如果已知P,P,也可求得联合分布列 P=PP.（=P服P）

在§22中曾经讨论了随机变量的独立性，显然，当 与？是相互独立的随机变量时，有 Pai =Pi,P=p.: 成立 既然P是一个分布列，当然也可以对这个分布列 求数学期望，如果可能取值为a:(=1,2,…,我们引 入下述定义

定义27若随机变量在”=b,条件下的条件分 布列为Pv,又 ∑la:Pay<o, i.1 则称∑aPv为在刀=6；条件下的数学望，简称为 i-l 条件期望，并记作E(5引？=b;》

例219某射击手进行射击，每次射击击中目标的 概率为P(0<P<1)射击进行到击中目标两次时停止.令 表示每一次击中目标时的射击次数，？表示每二次 击中目标时的射击次数，试求联合分布列P,条件分布 列P,P及数学期望E(5引7=》 解据题意知 P=p(5=i,7=j》 =p2g2,1si<j=2,3…

其中q=1-p,又 i+1 2gn=pg1,i=1,2.… 1-4 -1 i (j-10p2g-2,j=2,3… 于是条件分布列为

w-0pg月1sii=12 这时zS w-1 (5引7=闭=∑pn i.1 -1 1 2-1 -2

在这个例子中，条件期望{引？=}的意义都很直观 的。如果已知第二次击中发生在第n次射击，那么第 一次击中可能发生在第1，…，8-1次，并且发生在第1 次的概率都是】，因为=】， 也就是说已 2-1 2-1 知7=的条件下，号取值为1，…，-1是等可能的， 从而它的均值为。一一 条件期望具有与普通数学期望相类似的性质，例如 有