上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第一章 事件与概率 §1.7 贝努里概型

§1.7贝努里概型 现在用事件的独立性来研究一类问题 如果我们一次抛掷n枚相同的硬币， 要 求"恰好出现k个正面"这一事件的慨率 P(k).这样一个"一次抛掷n枚相同硬币" 的随机试验，可以用另一种等价的方式来进 行：每次抛掷一枚硬币，共抛掷次，容易理 解，这次抛掷的结果是相互独立的，因而如 果把相同条件下抛掷一枚硬币看作是一次试 验，就意味着这次试验是相互独立的.这里 所谓"试验是相互独立的"，意思就是说试验 的结果是相互独立的

§1.7 贝努里概型

一般地说，如果试验E只有两个E只有两 个可能结果：A及A,并且P(A)=P,P( P(A)=1-p=g(其中0<p<1),把E独立地重复n 次的试验构成了一个试验，这个试验称作n重贝 努里试验或贝努里概型，并记作E”.由此可知， 上述”一次抛掷n枚相同硬币的试验就可以看作 是一个n重贝努里试验 一个贝努里试验的结果可以记作： w1,2…）

其中的w:(1≤i≤n)或者为A或者为A, 因而这样的0共有2”个，它们的全体就是这个 贝努里试验的样本空间，对于w气w 1,m2…)∈0，如果w:(1≤i≤n)中有k个A, 则必有nk个为A,于是由独立性即得 P()-p&g*-k 此如n=5,0(A,A,A,A,A),则

P(w)=p·q·p·q·q=p2·q3 如果要求“n重贝努里试验中事件A出现k次” 这一事件的概率，那也是很容易的为此记 Dk={n重贝努里试验中事件A出现k次！ 有概率的有限可加性得 PB)=∑P@) 0EB 对于w∈Bk,已知P(w)=Pg-,而B中这样 的ω共有足2g0-,0≤k≤n

回到本节开始提出的问题，如果硬币是均匀的， 则P=1/2,于是”抛掷n枚相同的硬币，恰好出现 k个正面的慨率为 P.=[ 这就解答了问题， 例1.24金工车间有10台同类型的机床，每台机 床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工 作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否 是相互独立的.现因当地电力供应紧张，供电部 门只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台 机床能够正常工作的概率为多大？

例 1.24 金工车间有10台同类型的机床,每台机 床配备的电动机功率为10千瓦,已知每台机床工 作时,平均每小时实际开动12分钟,且开动与否 是相互独立的.现因当地电力供应紧张,供电部 门只提供50千瓦的电力给这10台机床,问这10台 机床能够正常工作的概率为多大?

解 50千瓦电力可同时供给5台机床开动， 因而10台机床中同时开动的台数不超过5台时 都可以正常工作.而每台机床只有“开动”与“不 开动”两种情祝，且开动的概率为 21 1 “不 60 开动”的概率为兰，设10台机床中正在开动着的 机床台数为则

于是同时开动着的机床台数不超过5台的概率 为 P(≤5)=∑p(传=k) =2[3*094 由此可见这10台机床能正常工作的概率为 0.994,也就是说这10台机床的工作基本上不受 电力供应紧张的影响.因为在电力供应10千瓦 的条件下，机床不能正常工作的概率仅为0.006， 相当于在一个工作班的8小时（即480分钟）内， 不能正常工作的时间只有 480×0.006≈2.88（分钟），还不到3分钟

由此可见这10台机床能正常工作的概率为 0.994,也就是说这10台机床的工作基本上不受 电力供应紧张的影响.因为在电力供应10千瓦 的条件下,机床不能正常工作的概率仅为0.006, 相当于在一个工作班的8小时(即480分钟)内, 不能正常工作的时间只有 480×0.006≈2.88(分钟),还不到3分钟

例1.25某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球 队举行对抗赛.校队的实力较系队为强，当一个 校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运 动员获胜的概率为0.6.现在校、系双方商量对 抗赛的方式，提了三种方案： (1)双方各出3人，比三局； (2)双方各出5人，比五局； (3)双方各出7人，比七局， 三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜 利.问：对系队来说，哪一种方案有得？

例 1.25 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球 队举行对抗赛.校队的实力较系队为强,当一个 校队运动员与一个系队运动员比赛时,校队运 动员获胜的概率为0.6.现在校﹑系双方商量对 抗赛的方式,提了三种方案: (1)双方各出3人,比三局; (2)双方各出5人,比五局; (3)双方各出7人,比七局, 三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜 利.问:对系队来说,哪一种方案有得?

解设系队得胜人数为，则在上述三种方案中 系队胜利的概率为 1p(5≥2)=2[k0.40.6)2-≈0,352 2p(5≥)-=2[k0.4*(0.)w0.317 (3)P(5≥4)= z[2k0.4*(0.672-*w0.290

由此可知第一种方案对系队最为有利（当 然，对校对来说最为不利).这在直觉上是 容易理解的，因为参加比赛的人数愈少，系 队侥幸获胜的可能性也就愈大.如果双方 只出一个比赛，则系队胜利的概率就是0.4， 这不是很明显的事情吗！ 例1.26某人有一串m把外形相同的钥匙，其 中只有一把能打开家门.有一天该人酒醉后回 家，下意识地每次从m把钥匙中随便拿一只去开 门，问该人在每k次才把门打开的概率多大？

由此可知第一种方案对系队最为有利(当 然,对校对来说最为不利).这在直觉上是 容易理解的,因为参加比赛的人数愈少,系 队侥幸获胜的可能性也就愈大.如果双方 只出一个比赛,则系队胜利的概率就是0.4, 这不是很明显的事情吗! 例 1.26 某人有一串m把外形相同的钥匙,其 中只有一把能打开家门.有一天该人酒醉后回 家,下意识地每次从m把钥匙中随便拿一只去开 门,问该人在每k次才把门打开的概率多大?