上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 离散型随机变量 §2.1 一维随机变量及分布

第二章离散型随机变量 §2.1一维随机变量及分布 在第一章里，我们研究了随机事件及其概率；细 心的读者可能会注意到，在某些例子中，随机事 件和实数之间存在着某种客观的联系.例如，在 贝努里概型这一节中，曾经讨论过“在n重贝 努里试验中，事件A出现k次”这一事件的概率 如果令 ξ=n重贝努里试验中事件A出现的次数 则上述“n重贝努里试验中事件A出现k次” 这个事件就可以简单地记作（飞=k),从而有

第二章 离散型随机变量 §2.1 一维随机变量及分布 在第一章里,我们研究了随机事件及其概率;细 心的读者可能会注意到,在某些例子中,随机事 件和实数之间存在着某种客观的联系.例如,在 贝努里概型这一节中,曾经讨论过“在n重贝 努里试验中,事件A出现k次”这一事件的概率, 如果令 ξ=n重贝努里试验中事件A出现的次数 则上述“n重贝努里试验中事件A出现k次” 这个事件就可以简单地记作(ξ=k) ,从而有

P(g=的=pg- (2.1) 并且所有可能取到的数值也就是试验中事件A可能 出现的次数：0,1，n.在另一些例子中，随机事件与实 数之间虽然没有上述那种“自然的”联系，但是我们常 常可以人为地给它们建立起一个对应关系.例如抛掷 一枚均匀的硬币，可能出现正面，也可能出现反面，现 在约定 若试验结果出现正面，令η=1， 若试验结果出现反面，令1=0， 这时就有： {试验的结果出现正面}=(n=1), {试验的结果出现反面}=(n=0)

在上面的讨论中，我们遇到了两个变量：和， 这两个变量取什么值，在每次试验之前是不能确定 的，因为它们的取值依赖于试验的结果，也就是说它 们取值是随机的.人们常常称这种变量为随机变量 由前面的两个例子可知，有了随机变量，至少使随机 事件的表达在形式上简洁的多了.但是这个好外毕 竟只是形式上的，在以后的讨论中，读者会看到引入 “随机变量”这个概念还有更为深远的意义. 在上述第一个例子中，对每个试验的结果， “自然地”对应着一个实数，而在第二个例子中， 这种对应的关系是人为地建立起来的.由此可见， 无论是哪一种情形，所谓随机变量，不过是试验结 果（即样本点！）和实数之间的一个对应关系，这与 数学分析中熟知的“函数”概念本质上是一回事

在上面的讨论中,我们遇到了两个变量: ξ和η, 这两个变量取什么值,在每次试验之前是不能确定 的,因为它们的取值依赖于试验的结果,也就是说它 们取值是随机的.人们常常称这种变量为随机变量, 由前面的两个例子可知,有了随机变量,至少使随机 事件的表达在形式上简洁的多了.但是这个好外毕 竟只是形式上的,在以后的讨论中,读者会看到引入 “随机变量”这个概念还有更为深远的意义. 在上述第一个例子中,对每个试验的结果, “自然地”对应着一个实数,而在第二个例子中, 这种对应的关系是人为地建立起来的.由此可见, 无论是哪一种情形,所谓随机变量,不过是试验结 果(即样本点!)和实数之间的一个对应关系,这与 数学分析中熟知的“函数”概念本质上是一回事

只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实 数x,而在随机变量的概念中，随机变量ξ（。) 的自变量是样本点⊙.因为对每一个试验结果 ⊙，都有实数（⊙)与之对应，所以（⊙)的定 义域是样本空间2，显然值域是实数轴.此外， 重要的一点是，虽然在试验这前不能肯定随机 变量ξ（⊙）会取哪一个数值，但是对于任一实 数a,我们可以研究{ξ（w)}发生的概率，也就 是ξ（⊙)会取到什么样的统计规律.在这一章 里我们先研究一类比较特殊的随机变量， 定义2.1定义在样本空间2上，取值于实数域 R,且只取有限个或可列个值的变量ξ=ξ（ω)， 称作是一维（实值）离散型随机变量，简称为离 散型随机变量

只不过在函数概念中,函数f(x)的自变量是实 数x,而在随机变量的概念中,随机变量ξ(ω) 的自变量是样本点ω.因为对每一个试验结果 ω,都有实数ξ(ω)与之对应,所以ξ(ω)的定 义域是样本空间Ω,显然值域是实数轴.此外, 重要的一点是,虽然在试验这前不能肯定随机 变量ξ(ω)会取哪一个数值,但是对于任一实 数a,我们可以研究{ξ(ω) }发生的概率,也就 是ξ(ω)会取到什么样的统计规律.在这一章 里我们先研究一类比较特殊的随机变量. 定义 2.1 定义在样本空间Ω上,取值于实数域 R,且只取有限个或可列个值的变量ξ=ξ(ω), 称作是一维(实值)离散型随机变量,简称为离 散型随机变量

例2.1设2={某无线电厂1980年一季 度出厂的12寸电视机}，对o∈2，令 ξ（⊙)=o在一年中出故障的次数 则ξ（⊙)是2上的一个一维离散型随机 变量，(@)的可能取值范围为(0,1,2.).在试验 (即取定某一架电视机)之前，前不能断定ξ会取 哪一个值，但是我们可以知道（飞=0）、（飞=1） 、..这些事件又发生的概率（也就是在总体中 所占的比例).事实上，可以把这些电视机一年 中发生故障次数的分布情况列成下表：

例 2.1 设Ω={某无线电厂1980年一季 度出厂的12寸电视机},对ω∈Ω,令 ξ(ω)= ω在一年中出故障的次数 则ξ(ω)是Ω上的一个一维离散型随机 变量, ξ(ω)的可能取值范围为(0,1,2…).在试验 (即取定某一架电视机)之前,前不能断定ξ会取 哪一个值,但是我们可以知道(ξ=0) ﹑(ξ=1) ﹑…这些事件又发生的概率(也就是在总体中 所占的比例).事实上,可以把这些电视机一年 中发生故障次数的分布情况列成下表:

0次 1次 2(传=0) p(传=1) … (2.2) 或 1 3 Pi 21 (2.2) 并且称(2.2)或(2.2)为随机变量（ω）分布列，也称为分 布律，有时就简称为分布

并且称(2.2)或(2.2)为随机变量(o)分布列，也称为分布律 有 时就简称为分布 例2.2在n=5的贝努里试验中，设事件A在一次 试验中出现的概率为p,令 =5次试验中事件A出现的次数 则由(2.1)知 5 0k茶5 于是，的分布列为 0 1 2 3 4 5 Pi Spa 10p2g 10pg2 Sp'a

并且称(2.2)或(2.2)为随机变量ξ(ω)分布列,也称为分布律,有 时就简称为分布

由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列(：】 都具有下述两个性质： (1)2:≥，=1,2， (2) 2=1 反过来，任意一个具有以上两个性质的数列(：)，都 有资格作为某一个随机变量的分布列分布列不仅明确 地给出了(=&：)的概率，而且对于任意的实数a<b,事

件(ab)发生的概率均可由分布列算出，因为(a ssU(传=a;)》 R:马 于是由概率的可加性有 p(a≤号≤b)=∑p(传=a)=∑P: (2.5) 其中I2》=(ia≤a; b),即使对R中更复杂的集合 B,也有 p(传∈b)=p(传=a:)=∑P (2.6) iEIB) iEIB)

其中I(B)=i:&:∈B).由此可知，(w)取各种值的 概率都可以由它的分布列通过计算而得到，这件事实常 常说成是：分布列全面地描述了离散型随机变量的统计 规律 回到本节开始时的n重贝努里试验的例子，已知有 Pk=p(传== k g-k,0≤k≤r 容易验证： (1)2k>0,0≤k≤n;