上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第一章 事件与概率 §1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式

§1.5 条件概率、全概率公 式和贝叶斯公式 一、条件概率 简单地说，条件概率就是在一定附加条件之 下的事件概率. 从广义上看，任何概率都是条件概率，因为 任何事件都产生于一定条件下的试验或观察， 但我们这里所说的“附加条件”是指除试验条 件之外的附加信息，这种附加信息通常表现为 “已知某某事件发生了

§1.5 条件概率、全概率公 式和贝叶斯公式 一、条件概率 简单地说，条件概率就是在一定附加条件之 下的事件概率. 从广义上看，任何概率都是条件概率，因为 任何事件都产生于一定条件下的试验或观察， 但我们这里所说的“附加条件”是指除试验条 件之外的附加信息，这种附加信息通常表现为 “已知某某事件发生了

定义1.2设A和B为两个事件，P(B)>0,那 么，在“B已发生”的条件下，A发生的条件概 率P(AB)定义为 P(A B)= P(AB) (1-11) P(B) 由这个定义可知，对任意两个事件A、B,若P (B)》0,则有 P (AB)=P (B)P (A B) 并称上式微概率的乘法公式。P(·|B)具有下 面3个性质：

(1) 非负性：对任意的A∈f.P(AB)≥0： (2) 规范性：P(QB)=1; (3) 可列可加性：对任意的一列两两部相容 的事件A(I=1,2…),有 PU418F2P4) 例题见书35

三、全概率公式设事件组B1,B2,互斥 且UB:=2,P（B:)0,1=1,2,…则对任- i-l 事件， 有 00 P(A)=∑P(B)P(A|B:) i-1 称此式为全概率公式 证明：略(P37)例题（见书P37)

四、贝叶斯公式若B1,B2,…为一系列互不相容 的事件，且 UB:=2,P（B)0,I=1,2,…则对任-事 i.1 件A,有 P B;A)= PB,)P(4B,),1=1,2,… 2P(a)P(418)

这一公式最早发表于1763年，当时贝 叶斯已经去世，其结果没有受到应有 的重视.后来，人们才逐渐认识到了 这个著名概率公式的重要性.现在， 贝叶斯公式以及根据它发展起来的贝 叶斯统计已成为机器学习、人工智能、 知识发现等领域的重要工具. 贝叶斯公式给出了‘结果’事件B 已发生的条件下，‘原因'事件的条 件概率

这一公式最早发表于1763年，当时贝 叶斯已经去世，其结果没有受到应有 的重视. 后来，人们才逐渐认识到了 这个著名概率公式的重要性. 现在， 贝叶斯公式以及根据它发展起来的贝 叶斯统计已成为机器学习、人工智能、 知识发现等领域的重要工具. 贝叶斯公式给出了‘结果’事件B 已发生的条件下，‘原因’事件的条 件概率

从这个意义上讲，它是一个“执果索因” 的条件概率计算公式.相对于事件而言 概率论中把称为先验概率 (PriorProbability),而把称为后验概 率（Posterior Probability),这是 在已有附加信息（即事件已发生)之 对事件发生的可能性做出的重新认识，体 现了已有信息带来的知识更新

从这个意义上讲，它是一个“执果索因” 的条件概率计算公式.相对于事件B而言 ， 概率论中把称为先验概率 （PriorProbability），而把称为后验概 率 （Posterior Probability），这是 在已有附加信息（即事件B已发生）之后 对事件发生的可能性做出的重新认识，体 现了已有信息带来的知识更新