上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第五章 数理统计的基本概念 §5.3 次序统计量及其分布

§5.3次序统计量及其分布 次序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由 于次序统计量有一些性质不依赖于母体的分布并且计算量很 小，使用起来较方便。因此在质量管理、可靠性等方面得到 广泛的应用，现在我们在本节中扼要地介绍有关次序统计量 的内容。z 设51， 号2，…，号N是取自分布函数为F(x)的母体 的一个子样，X1,X2,…，X。表示这子样的一组观 测值。这些观测值，由小到大的排列用X(1),X(2)’ X(m)表示，即X1)≤X(2)≤…≤X(m),若其中有两个

§5.3次序统计量及其分布

分量X1与X2相等，它们先后次序的安排是可以任意的。 定义5.3 第i个次序统计量5)是上述子样1， 2’… 号m这样的一个的一个函数，不论子样51’ 52,,5m取得怎样一组观测值X1,X2，…,8， 它总是取其中的x()为观测值。 显然，对于容量为n的子样可以得到n个次序统计量 51)≤5(2)≤…≤5(m),其中51)称做最小次

序统计呈，5(a) 称做最大次序统计量。 如果51,52，，号m是来自同一母体的n个相 互独立随机变量，那么次序统计量51，与2，…，5m是 否也相互独立呢？这可以从下述例子中看出（例略）。 定理5.5设母体有密度函数f〔x)>0,a≤xb, 并且51,2，”，5”为取自这母体的一个子样，则 第ⅰ个次序统计量的密度函数为

g:y)= a-D1m-6yI1-80jf0.a≤ys6 2 0,其他 (5.24) 例5.3 设母体有密度函数 2x,0<x<1 f(x) 0,其他

并且54)为. 解 母体专的分布函数为2© 0,x≤0 (0=,0<1 1,x21 由公式(5.24)得出5(3)的密度函数

4 83y)= [Foy)]2[1-F0y)]43f(y 21(4-3) 21-y12y =24y2(1-y2) 对于y的其他值g,(y)=0。分布函数为zs 「0，y≤0 G30例=y,0<y<1 1,y≥1 而概率

p5®=G =-(分24（分） 243 256 系1最大次序统计量S(的密度函数为zs g,(y)= n[F()]f(y),a <y<b 0,其他 (5.25)

系2最小次序统计量1的密度函数为 81y)= n[F(y)]f(y),a <y<b (5.26) 0,其他 这两个系的证明是明显的，这是不叙述了。 下面我们同样以连续型母体分布为例考虑任何两个次 序统计量5)<气)的联合分布

定理5.6设母体号有密度函做f(x)>0,a≤xb. 并且与1，号2，，5是取自这一母体的一个子样， 则其任意两个次序统计量的气)<气()的联合分布密度函 数为 吕，，z)=

6-0U-i-0a-0)IFa)-P61 刘 *[1-F(z)]-f(0y)f(2),a≤y≤b 0,其他 (5.27) 在实际问题中有时要用到一些次序统计量的函数，例 如：(1)在第九章的质量管理一节中就要用到子样极差 R=()~S1),即最大与最小次序统计量之差；(2)子样 中位数也是一个常用的函数若n是奇数，定义它为5〔学