《高等数学》课程教学资源：第八章 多元函数微分法及其应用（8.2）偏导数

§8.2偏导数 、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 自

§8.2 偏 导 数 一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、偏导数的定义及其计算法 ☆偏导数的定义 设函数=(x,y)在点(x02y)的某一邻域内有定义,若极限 f(x+△x,y0)-f(xo2y0) im △x->0 △x 存在,则称此极限为函数=(x,y)在点(x02y)处对x的偏导数, 记作 x x=xo 5 或f(x0,y0) y=yo OX y=y y=yo 类似地,可定义函数=f(x,y)在点(xo,y)处对y的偏导数>> 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、偏导数的定义及其计算法 类似地, 可定义函数z=f(x, y)在点(x0 , y0 )处对y的偏导数. ❖偏导数的定义 下页 设函数z=f(x, y)在点(x0 , y0 )的某一邻域内有定义,若极限 x f x x y f x y x  + −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0 , y0 )处对x的偏导数, 记作 0 0 y y x x x z = =   , 0 0 y y x x x f = =   , 0 0 y y zx x x = = , 或 f x (x0, y0). >>>

、偏导数的定义及其计算法 ☆偏导数的定义 f(xo,yo)=lim f(o+Ax, yo)-f(o yo) △x->0 △x 令偏导数的符号 (x=Xo Oxy= x=xo ,xx=xo 5 f(o, yo ONly=yo 0 y=yo 令偏导函数 如果函数二=(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数 都存在,那么fx,y)对x的偏导数是x、y的函数,这个函数称为 函数二=f(x,y)对x的偏导函数(简称偏导数,记作 x,或f(xy) 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、偏导数的定义及其计算法 ❖偏导数的定义 x f x x y f x y f x y x x  + − =  → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 . ❖偏导数的符号 0 0 y y x x x z = =   , 0 0 y y x x x f = =   , 0 0 y y zx x x = = , ( , ) 0 0 f x y x . 如果函数z=f(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数 都存在, 那么f(x, y)对x的偏导数是x、y的函数, 这个函数称为 函数z=f(x, y)对x的偏导函数(简称偏导数),记作 x z   , x f   , x z , 或 f (x, y) x . ❖偏导函数

、偏导数的定义及其计算法 ☆偏导数的定义 f(xo,yo)=lim f(o+Ax, yo)-f(o yo) △x->0 △x 令偏导数的符号 x-xo 2 x=xo ,xx=xo 5 f(o, yo ONly=yo Xy=yo y=yo ☆偏导函数 f(,y)=lim f(x+Ax, y)-f(x,y) △x->0 ☆偏导函数的符号 或f(xy).> 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、偏导数的定义及其计算法 ❖偏导数的定义 x f x x y f x y f x y x x  + − =  → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 . ❖偏导数的符号 0 0 y y x x x z = =   , 0 0 y y x x x f = =   , 0 0 y y zx x x = = , ( , ) 0 0 f x y x . x z   , x f   , x z , 或 f (x, y) x . ❖偏导函数 x f x x y f x y f x y x x  + − =  → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 . ❖偏导函数的符号 >>>

冷偏导函数f(x0y)=lm f(xo+Ax, yo)-f(xo, yo) △x f(x,y)=lim V(x+Ax, y)-f(,y) △x->0 △x 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如,三元函数=f(x,y,2)在点(x,y,=)处对x的偏导数定义 为 f(,y,z)=lim f(x+△x,y,)-f(x,y,z) △x->0 △ 其中(x,y,z)是函数=f(x,y,z)的定义域的内点 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 x f x x y f x y f x y x x  + − =  → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 ❖偏导函数 . x f x x y f x y f x y x x  + − =  → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 . 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如, 三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义 为 x f x x y z f x y z f x y z x x  + − =  → ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 , 其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点

冷偏导函数f(x0y)=lm f(xo+Ax, yo)-f(xo, yo) △x->0 △x f(x,y)=lim V(x+Ax, y)-f(,y) △x->0 △x ☆偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看 作常数,然后按一元函数求导法求导即可 讨论: 下列求偏导数的方法是否正确? f()=f(xy)-3,f(,)=4f(xy); y=y fY(o, yo)=f (x,y)=xo, fr(xo, yo) y=yo f(o, y)ly=yo 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看 作常数, 然后按一元函数求导法求导即可. 下页x f x x y f x y f x y x x  + − =  → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 ❖偏导函数 . x f x x y f x y f x y x x  + − =  → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 . 讨论 下列求偏导数的方法是否正确？ 0 ) 0 ( , ) ( , 0 0 y y x x x x f x y f x y = = = , 0 ( , ) [ ( , )] 0 0 0 x x x f x y dx d f x y = =  0 ) 0 ( , ) ( , 0 0 y y x x y y f x y f x y = = = , 0 ( , ) [ ( , )] y 0 0 0 y y f x y dy d f x y = =

f(xo, yo)=f(x, y)x=xo, f(, yo)=[.f(x, yo)] f1(x=(xy)=,(x)=[n(oy)y= y=yo 例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数 解 az 2x+3 3x+2 y OX z ax/=1=21+32=8, 2 ay/x=1=31+22=7 y=2 例2求z=x2sin2y的偏导数 解=2xsin2y,=2x2cos2y 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 x y x z =2 +3   , x y y z =3 +2   . 例1 求z=x 2+3xy+y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解 例2 求z=x 2sin2y的偏导数. 解 下页 0 ) 0 ( , ) ( , 0 0 y y x x x x f x y f x y = = = , 0 ( , ) [ ( , )] 0 0 0 x x x f x y dx d f x y = =  0 ) 0 ( , ) ( , 0 0 y y x x y y f x y f x y = = = , 0 ( , ) [ ( , )] y 0 0 0 y y f x y dy d f x y = = . 2 1 3 2 8 2 1 =  +  =   = = y x x z , 3 1 2 2 7 2 1 =  +  =   = = y x y z 2 1 3 2 8 . 2 1 =  +  =   = = y x x z , 3 1 2 2 7 2 1 =  +  =   = = y x y z . x y x z =2 sin 2   , x y y z 2 cos2 2 =   x y . x z =2 sin 2   , x y y z 2 cos2 2 =   . 2 1 3 2 8 2 1 =  +  =   = = y x x z , 3 1 2 2 7 2 1 =  +  =   = = y x y z 2 1 3 2 8 . 2 1 =  +  =   = = y x x z , 3 1 2 2 7 2 1 =  +  =   = = y x y z . x y x z =2 sin 2   , x y y z 2 cos2 2 =   x y . x z =2 sin 2   , x y y z 2 cos2 2 =   . x y x z =2 +3   , x y y z =3 +2   x y . x z =2 +3   , x y y z =3 +2   x y . x z =2 +3   , x y y z =3 +2  

例3设z=x(x>0.x≠ 1),求证:5x3 az =2z y ax X Oy 证 =Xnx az 1 az x vxV-+xInx=xV+xV=22 y ax Inx a 例4求r=x2+y2+2的偏导数 解 ar ,y√x+y2+22F ar x2+12+z 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 证 下页 例 例 3 3 设 z = x (x0,x 1) y , 求证 z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   . 证 −1 =   y yx x z , x x y z y = ln   证 . −1 =   y yx x z , x x y z y = ln   . x x x x z x yx y x y z x x z y x y y y y ln 2 ln 1 ln 1 1 = + = + =   +   − x x x x z . x yx y x y z x x z y x y y y y ln 2 ln 1 ln 1 1 = + = + =   +   − x x x x z . x yx y x y z x x z y x y y y y ln 2 ln 1 ln 1 1 = + = + =   +   − . 例 例 4 4 求 2 2 2 r= x + y + z 的偏导数. 解 r x x y z x x r = + + =   2 2 2  r y x y z y y r = + + =   2 2 2 解 . r x x y z x x r = + + =   2 2 2  r y x y z y y r = + + =   2 2 2 解 . r x x y z x x r = + + =   2 2 2  r y x y z y y r = + + =   2 2 2 解 . r x x y z x x r = + + =   2 2 2  r y x y z y y r = + + =   2 2 2 解 . r x x y z x x r = + + =   2 2 2  r y x y z y y r = + + =   2 2 2 解 . r x x y z x x r = + + =   2 2 2  r y x y z y y r = + + =   2 2 2

例5已知理想气体的状态方程为pVR7(R为常数),求证: ap av aT av ot op 证因为p RT RT v av V.rt aV R p’OTp T pv aT V R ap R 所以 ap aV aT RT V RT av ot ap pR pv 本例说明一个问题:偏导数的记号是一个整体记号,不能 看作分子分母之商 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 证 本例说明一个问题 偏导数的记号是一个整体记号,不能 看作分子分母之商. 下页 例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数), 求证 =−1         p T T V V p . 证 因为 V RT p= , 2 V RT V p =−   证 因为  V RT p= , 2 V RT V p =−    p RT V = , p R T V =    R pV T = , R V p T =    所以 1 2 =−   =− =−         pV RT R V p R V RT p T T V V p . p RT V = , p R T V =    R pV T = , R V p T =    所以 1 2 =−   =− =−         pV RT R V p R V RT p T T V V p 所以 1. 2 =−   =− =−         pV RT R V p R V RT p T T V V p 所以 1. 2 =−   =− =−         pV RT R V p R V RT p T T V V p

☆偏导数的几何意义 f(x0,y0)=[f(x,y0)是截线=(x,yo)在点(x02y)处的切线T 对x轴的斜率 f(x0y)=f(xy)]是截线(x0,y)在点(x0y)处的切线r 对y轴的斜率 fx,yo)z=xo,y O O 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖偏导数的几何意义 f x (x0 , y0 )=[ f(x, y0 )]x  f y (x0 , y0 )=[ f(x0 , y)]y  z=f(x, y0 ) z=f(x0 , y) 是截线z=f(x, y0 )在点(x0 , y0 )处的切线Tx 对x轴的斜率. 是截线z=f(x0 , y)在点(x0 , y0 )处的切线Ty 对y轴的斜率