《高等数学》课程教学资源：第五章 定积分（5.2）微积分基本公式

§5.2微积分基本公式 、位置函数与速度函数之间的联系 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿一莱布尼茨公式 自贝

一、位置函数与速度函数之间的联系 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿−−莱布尼茨公式 §5.2 微积分基本公式 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动,在时刻物体所经过的 路程为S(),速度为v=v()=S()(20),则在时间间隔[T12内 物体所经过的路程S可表示为 S(T)-S()及O0, 72 n(ot=S(2)-S() 上式表明,速度函数()在区间[71,21上的定积分等于v( 的原函数S()在区间[T1,T2上的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢? 首页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻物体所经过的 路程为S(t), 速度为v=v(t)=S(t)(v(t)0), 则在时间间隔[T1 , T2 ]内 物体所经过的路程S可表示为 一、位置函数与速度函数之间的联系 上式表明, 速度函数v(t)在区间[T1 , T2 ]上的定积分等于v(t) 的原函数S(t)在区间[T1 , T2 ]上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ ( ) ( ) S T2 −S T1 及 v t dt T T ( ) 2 1  , 即 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 v t dt S T S T T T = −  即 . 首页

二、积分上限的函数及其导数 今积分上限的函数 设函数f(x)在区间[a,b上连续,x∈{a,b,我们称 f(x),或厂Oh 为积分上限的函数 定理1(积分上限函数的导数) 如果函数/()在区间a,b上连续,则函数(x=fx)k 在[a,b]上可导,并且 g(x)=f(dt=f( x x)(a≤x≤b).> 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、积分上限的函数及其导数 ❖积分上限的函数 设函数f(x)在区间[a, b]上连续, x[a, b], 我们称 f x dx x a ( )  , 或 f t dt x a ( )  为积分上限的函数. •定理1(积分上限函数的导数) 如果函数 f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数 x f x dx x a ( ) ( )   = 在[a, b]上可导, 并且 ( ) f (t)dt f (x)(a x b) dx d x x a  = =    . 下页 >>>

例1设(x)在[0,+∞)内连续且(x)>0.证明函数 F(x) f(tdt 在(0,+∞)内为单调增加函数 证明因为 )(/0-f(x)0(tf(x)(x-)(M (0O2 6(on2 按假设,当00,(x-1)f(4)>0,所以 f(>0,(x-0/()t>0 (M=y(x),(Oh=/(x) 首页 上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 例1 设f(x)在[0, +)内连续且f(x)>0.证明函数   = x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0, +)内为单调增加函数. 证明 因为 2 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    −  = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x 2 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( )   − = x x f t dt f x x t f t dt . ( ) ( ) 0 tf t dt xf x dx d x =  , ( ) ( ) 0 f t dt f x dx d x =  ( ) ( ) . 0 tf t dt xf x dx d x =  , ( ) ( ) 0 f t dt f x dx d x =  . 2 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    −  = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x 2 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( )   − = x x f t dt f x x t f t dt . 按假设, 当0tx时f (t)>0, (x−t)f (t)>0, 所以 ( ) 0 0   f t dt x , ( ) ( ) 0 0 −   x t f t dt x ( ) 0 , 0   f t dt x , ( ) ( ) 0 0 −   x t f t dt x , 下页

例1设(x)在[0,+∞)内连续且(x)>0.证明函数 F(x) f(tdt 在(0,+∞)内为单调增加函数 证明因为 )(/0-f(x)0(tf(x)(x-)(M (0O2 f())2 按假设,当00,(x-1(1)>0,所以 f(>0,(x-0/()t>0 从而F(x)>0(x>0),因此F(x)在(0,+∞)内为单调增加函数 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 设f(x)在[0, +)内连续且f(x)>0.证明函数   = x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0, +)内为单调增加函数. 证明 因为 2 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    −  = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x 2 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( )   − = x x f t dt f x x t f t dt . 2 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    −  = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x 2 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( )   − = x x f t dt f x x t f t dt . 按假设, 当0tx时f (t)>0, (x−t)f (t)>0, 所以 ( ) 0 0   f t dt x , ( ) ( ) 0 0 −   x t f t dt x ( ) 0 , 0   f t dt x , ( ) ( ) 0 0 −   x t f t dt x , 从而F (x)>0(x>0),因此F(x)在(0, +)内为单调增加函数. 下页

例2求 e-l dt um acos x->0 解这是一个零比零型未定式,由罗必达法贝 COSx dt COSx x->0 x->0 -lim -e os(sinx)-1 x→>0 设x)=edh,则 D(cosx) COSX dp(cosx)=p(u)=e-.sin x)=-sin x.e-cos x C 首页页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 例 7 求 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x  − → 例 . 2 解 这是一个零比零型未定式, 由罗必达法则 2 cos 1 0 2 1 cos 0 2 2 lim lim x e dt x e dt x t x x t x   − → − → − = x e e x x x 2 1 2 ( sin ) lim 2 cos 0 = − − = − → . 2 cos 1 0 2 1 cos 0 2 2 lim lim x e dt x e dt x t x x t x   − → − → − = x e e x x x 2 1 2 ( sin ) lim 2 cos 0 = − − = − → . 下页 设  −  = x t x e dt 1 2 ( ) , 则  −  = x t x e dt cos 1 2 (cos ) . u x e x x e dx du u du d x dx d 2 2 cos (cos ) ( ) ( sin ) sin − −  =   =  − =−  . u x e x x e dx du u du d x dx d 2 2 cos (cos ) ( ) ( sin ) sin − −  =   =  − =−  . u x e x x e dx du u du d x dx d 2 2 cos (cos ) ( ) ( sin ) sin − −  =   =  − =−  . u x e x x e dx du u du d x dx d 2 2 cos (cos ) ( ) ( sin ) sin − −  =   =  − =− 

今定理2 如果函数/(x)在区间a,b上连续,则函数(x)=f(xb 就是(x)在[a,b上的一个原函数 定理的重要意义: 方面肯定了连续函数的原函数是存在的,另一方面初 步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 首页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 定理的重要意义： 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的, 另一方面初 步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 就是f(x)在[a, b]上的一个原函数. 如果函数 f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数 x f x dx x a ( ) ( )   = ❖定理2 首页

三、牛顿一莱布尼茨公式 定理3(牛顿一莱布尼茨公式) 若F(x)是连续函数(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则 Cf(dx=F(b)-F(a 证明设(x)=f(,则也是f(x)的原函数 因为F(x)和Φ(x)都是fx)的原函数,所以存在常数C,使 F(x)-①(x)=C 由F(a)①(a)=C及Φ(a)=0,得C=F(a),F(x)-Φ(x)=F(a) 由F(b)(b)=F(a),得Φ(b)=F(b)-F(a),即 f(x)dx=F(b)-F(a) 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、牛顿−−莱布尼茨公式 若F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则 f (x)dx F(b) F(a) b a = −  . 定理3(牛顿−−莱布尼茨公式) f (x)dx F(b) F(a) b a = −  . 证明 设 x f t dt x a ( ) ( )  证明  = , 则也是 f(x)的原函数. 因为F(x)和(x)都是f(x)的原函数,所以存在常数C, 使 F(x)−(x)=C. 由F(a)−(a)=C及(a)=0, 得C=F(a), F(x)−(x)=F(a). 由F(b)−(b)=F(a), 得(b)=F(b)−F(a), 即 下页

三、牛顿一莱布尼茨公式 定理3(牛顿一莱布尼茨公式) 若F(x)是连续函数(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则 f(x)dx= F(b)-F(a) 为了方便起见,可把F(b)-F(a)记成[F(x)b,于是 f(x)dx=[F(1=F(b)-F(a 牛顿一莱布尼茨公式进一步揭示了定积分与被积函数的 原函数或不定积分之间的联系 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 牛顿−−莱布尼茨公式进一步揭示了定积分与被积函数的 原函数或不定积分之间的联系. 三、牛顿−−莱布尼茨公式 若F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则 f (x)dx F(b) F(a) b a = −  . 定理3(牛顿−−莱布尼茨公式) 为了方便起见, 可把 F(b)−F(a)记成 b a [F(x) ] , 于是 f (x)dx [F(x)] F(b) F(a) b a b a = = −  . 下页

若F(x)是f(x原函数,则f(x)dk=F(x)=F(b)-F(a) 例3计算 解x2ak=2x2l2=1-1-03=1 例4计算1+x2 解 l 1+x2=- =arctan 3-arctan(-1) 丌、7 41 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 若 F(x)是 f(x)的原函数, 则 f (x)dx [F(x) ] F(b) F(a) b a b a = = −  . 解 解 例3 例 1 计算 1 0 2 x dx . 3 1 0 3 1 1 3 1 ] 3 1 [ 1 3 3 0 3 1 0 2 = =  −  =  x dx x . 例 例 2 4 计算 2 3 1 1 x dx +  − . 3 2 1 3 1 [arctan ] 1 − − = +  x x dx =arctan 3−arctan(−1)    12 7 ) 4 ( 3 = − − = . 3 1 0 3 1 1 3 1 ] 3 1 [ 1 3 3 0 3 1 0 2 = =  −  =  x dx x . 3 1 0 3 1 1 3 1 ] 3 1 [ 1 3 3 0 3 1 0 2 = =  −  =  x dx x . 3 2 1 3 1 [arctan ] 1 − − = +  x x dx =arctan 3−arctan(−1) 3 2 1 3 1 [arctan ] 1 − − = +  x x dx =arctan 3−arctan(−1) 下页