《高等数学》课程教学资源：第七章 空间解析几何（7.8）空间直线及其方程

§7.8空间直线及其方程 、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例 自

一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例 §7.8 空间直线及其方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、空间直线的一般方程 空间直线可以看作是两个平面的交线 设直线L是平面/1和/2的交线,平面的方程分别为 Ax+By+C3+D=0FHA,x+B,+C2 2+D2=0 那么直线L可以用方程组 A1x+B1计+C12+D1=0 142x+62yC2+D2=0 来表示.这就是空间直线的一般方程 x 分析:点M在直线L上台点M同时在这两个平面上, ◇→点M的坐标同时满足这两个平面的方程. 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 分析：点M在直线L上点M同时在这两个平面上, 点M的坐标同时满足这两个平面的方程. 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看作是两个平面的交线. 设直线L是平面1和2的交线,平面的方程分别为 A1 x+B1 y+C1 z+D1=0和A2 x+B2 y+C2 z+D2=0, 这就是空间直线的一般方程.    + + + = + + + = 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D . 来表示. 那么直线L可以用方程组 首页

二、空间直线的对称式方程与参数方程 今方向向量 如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫 做这条直线的方向向量 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量 确定直线的条件 2 当直线L上一点M(x,y02x0)和它的 方向向量s=(m,n,p)为已知时,直线L 的位置就完全确定了 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、空间直线的对称式方程与参数方程 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫 做这条直线的方向向量. ❖方向向量 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量. 当直线L上一点M0 (x0 , y0 , x0 )和它的 一方向向量s=(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了. ❖确定直线的条件 下页

今直线的对称式方程 求通过点M6x,y02x),方向向量为s=(m,n,p)的直线的方 程 设Mx,y,z)为直线上的任一点, 则从M到M的向量平行于方向向量 M (x-x0,yy0,2-0)/s, 从而有 x-x0=1020.>>注x 这就是直线的方程,叫做直线的对称式方程 直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的 组方向数.向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖直线的对称式方程 求通过点M0 (x0 , y0 , x0 ), 方向向量为s=(m, n, p)的直线的方 程. (x-x0 , y-y0 , z-z0 )//s , 从而有 这就是直线的方程, 叫做直线的对称式方程. p z z n y y m x x0 0 - 0 = - = - . 直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一 组方向数. 向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦. 则从M0到M的向量平行于方向向量: 设M(x, y, z)为直线上的任一点, 下页 >>>注

通过点M(x02y,xo),方向向量为s=(m,n,p)的直线方程: 今直线的参数方程 设 x-xo-y-yo ①=t,得方程组 x=xo+mt y=yo tnt o+pt 此方程组就是直线的参数方程 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 通过点M0 (x0 , y0 , x0 ), 方向向量为s=(m, n, p)的直线方程: ❖直线的参数方程 设 p z z n y y m x x0 0 - 0 = - = - =t, 得方程组      = + = + = + z z pt y y nt x x mt 0 0 0 . 此方程组就是直线的参数方程. 下页 p z z n y y m x x0 0 - 0 = - = - . 设 p z z n y y m x x0 0 - 0 = - = - =t, 得方程组

例1用对称式方程及参数方程表示直线{x+y++1 2x-y+32=4 解在直线的一般方程中令x=1,可得y2,z=0 于是(1,-2,0)是直线上的一点 以平面x+y+z=1和2x-y+3x=4的法线向量的向量积作为 直线的方向向量s: s=(i+j+h)x(2i-1+3k)=4i-1-3k 所给直线的对称式方程为x +22 4 1-3 所给直线的参数方程为x=1+41,y=2-t,z=3t 提示:x 1y+2 1-3 =t,有x=1+4,=-2-1,2=-3t. 4 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 先求直线上的一点, 再求这直线的方向向量s. 提示： 当 x=1 时, 有    - + = + =- 3 2 2 y z y z , 此方程组的解为k y=-2, z=0. i j i j k s i j k i j k 4 3 2 1 3 ( ) (2 3 ) 1 1 1 = - - - 令= + +  - + = . t x y z = - = - + = - 1 3 2 4 1 , 有 x=1+4t, y=-2-t, z=-3t . 于是(1, -2, 0)是直线上的一点. 解 在直线的一般方程中令x=1, 以平面x+y+z=-1和2x-y+3z=4的法线向量的向量积作为 直线的方向向量 s: s=(i+j+k)(2i-j+3k)=4i-j-3k. 可得y=-2, z=0. 所给直线的对称式方程为 下页 例 例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线   - + = + + = 2 3 4 1 x y z x y z . 1 3 2 4 1 - = - + = x- y z . 所给直线的参数方程为 x=1+4t, y=-2-t,z=-3t

、两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹 角 2 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1=(m1,n1P1)和s2=(m2,n2P2) SI 那么L1和L2的夹角o满足 coSco(s,, s, m,m,+nn,+p,p m2+n2+p2、Vm2+m2+m2 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹 角. 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1=(m1 , n1 , p1 )和s2=(m2 , n2 , p2 ), 那么L1和L2的夹角j满足 下页 cos |cos( , )| 2 ^ 1 j= s s 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 | | m n p m n p m m n n p p + +  + + + + =

方向向量分别为(m12m1,p1)和(m2,n2p2)的直线的夹角余弦 m,m2+n,n,+pip2 COSpp= mi+ni+pi mi+n+p y_2+3 例2求直线L1-41 和L 3+2三的夹角 解两直线的方向向量分别为(1,-4,1)和(2,-2,-1) 设两直线的夹角为q,则 1×2+(-4)×(-2)+1×(-1) c0s0=+(22+(-2+(- 所以=4 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 方向向量分别为(m1 , n1 , p1 )和(m2 , n2 , p2 )的直线的夹角余弦: 例 2 求直线 L1: 1 3 1 4 1 + = - = x- y z 和 L2: 2 1 2 2 - = - + = x y z 例2 的夹角. 解 两直线的方向向量分别为 设两直线的夹角为j , 则 (1, -4, 1)和(2, -2, -1). 下页 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 | | cos m n p m n p m m n n p p + +  + + + + j = . 2 2 2 1 1 ( 4) 1 2 ( 2) ( 1) |1 2 ( 4) ( 2) 1 ( 1)| cos 2 2 2 2 2 2 = = + - +  + - + -  + -  - +  - j = , 所以 4  j = . 2 2 2 1 1 ( 4) 1 2 ( 2) ( 1) |1 2 ( 4) ( 2) 1 ( 1)| cos 2 2 2 2 2 2 = = + - +  + - + -  + -  - +  - j =

方向向量分别为(m12m1,p1)和(m2,n2p2)的直线的夹角余弦 m,m2+n,n,+pip2 COSpp= mi+ni+pi mi+n+p 两直线垂直与平行的条件 设有两直线 L1:x=y==21,L2:2=yy2==2 则L1⊥L2≌→mm2+n1n2+pp2=0 L1∥L→ P1 m212p2 自 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖两直线垂直与平行的条件 设有两直线 L1 ⊥ L2m1m2+n1 n2+p1 p 则 2=0; 首页 方向向量分别为(m1 , n1 , p1 )和(m2 , n2 , p2 )的直线的夹角余弦: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 | | cos m n p m n p m m n n p p + +  + + + + j = . L1: 1 1 1 1 1 1 p z z n y y m x x - = - = - , L2: 2 2 2 2 2 2 p z z n y y m x x - = - = - , L1  L2 2 1 2 1 2 1 p p n n m m = =

四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线 的夹角称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定 直线与平面的夹角为90° 2 设直线的方向向量为s=(m,n,p),平 面的法线向量为n=(4,B,C,则直线与平 面的夹角满足 Am+ Bn+Cpl sIng= √A2+B2+C2Vm2+m2+p2x 9=-(S, n)l, sin-cos(s, n) 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线 的夹角j称为直线与平面的夹角, 当直线与平面垂直时, 规定 直线与平面的夹角为90. 设直线的方向向量为s=(m, n, p), 平 面的法线向量为n=(A, B, C), 则直线与平 面的夹角j 满足 下页 2 2 2 2 2 2 | | sin A B C m n p Am Bn Cp + +  + + + + j = . ( , )| 2 | ^ = - s n  j , sin |cos( , )| ^ j = s n