《高等数学》课程教学资源：第一章 函数与极限（1.7）无穷小的比较

§1.7无穷小的比较 今观察与比较 观察两个无穷小比值的极限 m 0 lim 3x ∞o, lim sinx x->03x x→>0x x→>0x 两个无穷小比值的极限的各种不同情况,反映了不 同的无穷小趋于零的“快慢”程度. 在x→>0的过程中,x2比3x趋于零的速度快些,反过来 3x比x2趋于零的速度慢些,而sinx与x趋于零的速度相仿 自贝

§1.7 无穷小的比较 ❖观察与比较 观察两个无穷小比值的极限 两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不 同的无穷小趋于零的“快慢”程度 在x→0的过程中 x 2比3x趋于零的速度快些 反过来 3x比x 2趋于零的速度慢些 而sin x与x趋于零的速度相仿 0 3 lim 2 0 = → x x x  = → 2 0 3 lim x x x  1 sin lim 0 = → x x x  首页 上页 返回 下页 结束 铃

今无穷小的阶 设a及B为同一个自变量的变化过程中的无穷小 如果lm2=0,就说/是比a高阶的无穷小,记为/=o(a) 如果m2=∞,就说B是比a低阶的无穷小 如果lm2=c≠0,就说与a是同阶无穷小 如果im=c≠0,k>0,就说B是关于a的k阶无穷小 如果m2=1,就说与a是等价无穷小,记为aB 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖无穷小的阶 设a 及b 为同一个自变量的变化过程中的无穷小 下页 如果lim =0 a b  就说b是比a高阶的无穷小 记为b=o(a) 如果 = a b lim  就说b 是比a 低阶的无穷小 如果lim =c0 a b  就说b 与a 是同阶无穷小 如果lim =c0 ak b  k>0 就说b是关于a的 k 阶无穷小 如果lim =1 a b  就说b与a是等价无穷小 记为a~b 

今阶的比较举例 例1因为lm Bx =0 x->0x 所以当x->0时,3x2是比x高阶的无穷小,即3x2=0(x)(x->0 1 例2因为lm1=∞, n→>00 所以当n->o时,一是比一低阶的无穷小 例3因为mx2-9=6, x→)3x-3 所以当x→>3时,x2-9与x-3是同阶无穷小 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖阶的比较举例 所以当x→0时 3x 2是比x高阶的无穷小 即3x 2=o(x)(x→0) 所以当x→3时 x 2-9与x-3是同阶无穷小 所以当 n→时 n 1 是比 2 1 n 低阶的无穷小 因为 = → 2 1 1 lim n n n 例2  例 3 因为 6 3 9 lim 2 3 = - - → x x x 例3  例 1 因为 0 3 lim 2 0 = → x x x 例1  下页

今阶的比较举例 例4因为im COSX x->0X 2 所以当x->0时,1-c0sx是关于x的二阶无穷小 例5因为 lim =x=1, x->0x 所以当x->0时,snx与x是等价无穷小,即 sin xx(x->0 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 所以当x→0时 1-cos x 是关于x 的二阶无穷小 所以当x→0时 sin x 与x是等价无穷小 即sin x~x(x→0) 例 4 因为 2 1 cos 1 lim 2 0 = - → x x x 例4  例 5 因为 1 sin lim 0 = → x x x 例5  下页 ❖阶的比较举例

今关于等价无穷小的定理 ●定理1 B与a是等价无穷小的充分必要条件为 B=a+o(a) 证明必要性:设~B,只需证B-a=o(a).因为 B-a B lim(-1)=li B 0 C 所以-Q=o(a) 充分性:设B=a+o(a),则 &im a+o(a ola im[1+ 因此aB 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 •定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a) 下页 ❖关于等价无穷小的定理 证明 必要性: lim =lim( -1)=lim -1=0 - a b a b a b a  所以b –a=o(a) 设a~b 只需证b –a=o(a) 因为 lim =lim( -1)=lim -1=0 - a b a b a b a lim =lim( -1)=lim -1=0  - a b a b a b a  充分性: 设b=a+o(a) 则 ] 1 ( ) lim[1 ( ) lim lim = + = + = a a a a a a b o o ] 1 ( ) lim[1 ( ) lim lim = + = + = a a a a a a b o o ] 1 ( ) lim[1 ( ) lim lim = + = + = a a a a a a b o o ] 1 ( ) lim[1 ( ) lim lim = + = + = a a a a a a b o o  因此a~b

今关于等价无穷小的定理 ●定理1 B与a是等价无穷小的充分必要条件为 B=a+o(a) 例6因为当x0时snx,tanx,1-osx-1x2, 所以当x>0时,有 sin x=x+o(x) tan x=x+o(x) 1-COS x=x2+0(x2) 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 所以当x→0时 有 sin x=x+o(x) tan x=x+o(x) 1-cos x = ( ) 2 1 2 2 x +o x  例 6 因为当 x→0 时 sin x~x tan x~x 1-cos x~ 2 2 1 例6 x  下页 •定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a) ❖关于等价无穷小的定理

今关于等价无穷小的定理 ●定理1 B与a是等价无穷小的充分必要条件为 B=a+o(a) ●定理2 设aa',B-B',且 lim t B_1mB C 证明imB=hmnB.Ba C lim B m/.im B 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 •定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a) ❖关于等价无穷小的定理 设a~a   b~b   且 a b   lim 存在 则 a b a b   lim =lim  •定理2 a a a b b b a b       lim =lim a b a a a b b b   =       =lim lim lim lim  证明 a a a b b b a b       lim =lim a b a a a b b b   =       =lim lim lim lim 

今关于等价无穷小的定理 ●定理1 B与a是等价无穷小的充分必要条件为 B=a+o(a) ●定理2 设aa',B-B',且 lim t B_1mB C 定理2的意义: 求两个无穷小比值的极限时,分子及分母都可用等 价无穷小来代替.因此,如果用来代替的无穷小选取得 适当,则可使计算简化 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等 价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得 适当 则可使计算简化 定理2的意义: 下页 •定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a) ❖关于等价无穷小的定理 设a~a   b~b   且 a b   lim 存在 则 a b a b   lim =lim  •定理2

若ax,BB,且ImB存在,则mB=hmnB 例7求im tan 2x x-0 sins 解当x->0时,tan2x2x,sin5x-5x,所以 lim tan 2x lim 2x2 x-so sin 5x x-50 5x 5 例8求im-smx x→>0x3+3x 解当x->0时 sIn xx,无穷小x3+3x与它本身显然是等 价的,所以 sInx lim lim - lin x-0x3+3xx0x2+3x-0x2+33 页返回 下页 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 当x→0时 tan 2x~2x sin 5x~5x 所以 解 当x→0时sin x~x 无穷小x 3+3x与它本身显然是等 价的 所以 若a~a  b~b  且 a b   lim 存在 则 a b a b   lim =lim  例 例  7 求 x x x sin 5 tan 2 lim →0  x x x sin 5 tan 2 lim →0 5 2 5 2 lim 0 = = → x x x  例 例  8 求 x x x x 3 sin lim 3 →0 +  x x x sin 5 tan 2 lim →0 5 2 5 2 lim 0 = = → x x x  x x x sin 5 tan 2 lim →0 5 2 5 2 lim 0 = = → x x x  结束 3 1 3 1 lim 3 lim 3 sin lim 2 0 2 0 3 0 = + = + = → + → x → x x x x x x x x  3 1 3 1 lim 3 lim 3 sin lim 2 0 2 0 3 0 = + = + = → + → x → x x x x x x x x  3 1 3 1 lim 3 lim 3 sin lim 2 0 2 0 3 0 = + = + = → + → x → x x x x x x x x  3 1 3 1 lim 3 lim 3 sin lim 2 0 2 0 3 0 = + = + = → + → x → x x x x x x x x 