《高等数学》课程教学资源：第一章 函数与极限（1.8）函数的连续性与间断点

§1.8函数的连续性与间断点 、函数的连续性 二、函数的间断点 自贝

一、函数的连续性 二、函数的间断点 §1.8 函数的连续性与间断点 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、函数的连续性 今变量的增量 设函数y=(x)在点x0的某一个邻域U(x)内有定义 在邻域U(x)内,若自变量x从初值x变到终值x1 则称Ax=x1-x0为自变量x的增量 y=(x0 称△y=f(x0+△x)-f(x0)函数yv的增量为 f(x0+△x) x o x0+△xx 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、函数的连续性 ❖变量的增量 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0 )内有定义 下页 称Dy=f(x0+Dx)-f(x0 )函数y的增量为 在邻域U(x0 )内 若自变量x从初值x0变到终值x1  则称Dx=x1-x0为自变量x的增量 Dx Dy

今函数的连续性定义 设函数y=(x)在点x0的某一个邻域内有定义,如果 lim Ay=0, E lim f(x)=f(xo) △x→>0 x-x 那么就称函数y=(x)在点x处连续 提示:Ay=/x+Ax)/(x 设x=x0+△x,则当Ax→>0时,x→>x,因此 imy=0今lim[f(x)-f(x)=0今imf(x)=f(x) △x->0 x->x0 首页 上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖函数的连续性定义 提示: 下页 lim 0 0 D = D → y x  lim [ ( ) ( 0 )] 0 0 - = → f x f x x x  lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = →  设x=x0+Dx 则当Dx→0时 x→x0  因此 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 lim 0 0 D = D → y x  或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim 0  0 D = D → y x  或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = →  Dy=f(x0+Dx)-f(x0 ) lim 0 0 D = D → y x  lim [ ( ) ( 0 )] 0 0 - = → f x f x x x  lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim 0  0 D = D → y x  lim [ ( ) ( 0 )] 0 0 - = → f x f x x x  lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 

今函数的连续性定义 设函数y=(x)在点x0的某一个邻域内有定义,如果 lim Ay=0, E lim f(x)=f(xo) △x→>0 x-x 那么就称函数y=(x)在点x处连续 讨论 如何用sδ语言叙述函数的连续性定义? 提示 lim f(x)=f(xo) x->x0 VE>0,38>0,当x-x0<,有(x)(x0)<E 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 讨论: 如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？ e >0 d >0 当|x-x0 |<d 有|f(x)-f(x0 )|<e  提示:  lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = →  下页 ❖函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 lim 0 0 D = D → y x  或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim 0  0 D = D → y x  或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 

今函数的连续性定义 设函数y=(x)在点x0的某一个邻域内有定义,如果 lim Ay=0, E lim f(x)=f(xo) △x→>0 x-x 那么就称函数y=(x)在点x处连续 左连续与右连续 如果limf(x)=f(x0),则称yfx)在点x0处左连续 x→)x 如果limf(x)=f(x),则称yf(x)在点x处右连续 x-X °结论 函数y=x)在点x处连续>函数y=(x)在点x处左连续 且右连续 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 •左连续与右连续 •结论 函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续 且右连续 下页 如果 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → -  则称 y=f(x)在点 0 x 处左连续 如果 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → +  则称 y=f(x)在点 0 x 处右连续 ❖函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 lim 0 0 D = D → y x  或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim 0  0 D = D → y x  或 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 

今连续函数 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的 连续函数,或者说函数在该区间上连续 连续函数举例 1.多项式函数Px)在区间(-∞,+∞)内是连续的 这是因为,函数Px)在(-∞,+∞)内任意一点x处有定 义,并且 lim P(x)=P(o) x→x 注 如果区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续 首页上页返回结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 注: ❖连续函数 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的 连续函数 或者说函数在该区间上连续 •连续函数举例 1 多项式函数P(x)在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数P(x)在(- +)内任意一点 x0处有定 义 并且 lim ( ) ( )0 0 P x P x x x = →  下页 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续

今连续函数 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的 连续函数,或者说函数在该区间上连续 连续函数举例 2.函数y=sinx在区间(-∞,+∞)内是连续的 这是因为,函数y=sinx在(-∞,+∞)内任意一点x处有 定义,并且 i△y=lim[sin(x+△x)-nx △x->0 △x lim 2sin coS(x+ △ 0 △x->0 首页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 函数 y=sin x 在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数y=sin x在(- +)内任意一点x处有 定义 并且 lim lim [sin( ) sin ] 0 0 y x x x x x D = +D - D → D → ) 0 2 cos( 2 lim 2sin 0 = D + D = D → x x x x  首页 ❖连续函数 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的 连续函数 或者说函数在该区间上连续 •连续函数举例

二、函数的间断点 间断点的定义 设函数fx)在点x的某去心邻域内有定义.在此前提 下,如果函数(x)有下列三种情形之 (1)在x0没有定义; 2)虽然在x有定义,但lm(x)不存在; x-X (3)虽然在x有定义且lim(x)存在,但imnf(x)≠(x0) x→)x x->x0 则函数x)在点x不连续,而点x称为函数f(x)的不连续点 或间断点 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、函数的间断点 •间断点的定义 设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提 下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一 (1)在x0没有定义 则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点 或间断点 (2)虽然在x0有定义 但 f(x)不存在 0 lim x→x (3)虽然在x0有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0 ) 0 lim x→x 0 lim x→x 下页

间断点举例 例1正切函数y=tanx在x=x处没有定义, 所以点x=x是函数tanx的间断点 i y=tan x 2 因为 lim tan x=∞, 故称x=x为函数tanx的无穷间断点 丌 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 •间断点举例 例 例 1 1 正切函数 y=tan x 在 2  x = 处没有定义 所以点 2  x = 是函数 tan x 的间断点 因为 = → x x lim tan 2   故称 2  x = 为函数 tan x 的无穷间断点 下页

间断点举例 例2函数y=sin在点x=0没有定义 所以点x0是函数的间断点 当x->0时,函数值在-1与+1之间变动无限多次, 所以点x=0称为函数的振荡间断点 y=sin- 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 2 函数 x y 1 例2 =sin 在点 x=0 没有定义 当x→0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次 所以点x=0是函数的间断点 所以点x=0称为函数的振荡间断点 下页 •间断点举例 x y 1 =sin