《高等数学》课程教学资源：第八章 多元函数微分法及其应用（8.3）全微分及其应用

§8.3全微分及其应用 一、全微分的定义 二*全微分在近似计算中的应用 自

一、全微分的定义 二*、全微分在近似计算中的应用 §8.3 全微分及其应用 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、全微分的定义 ☆偏增量与偏微分 根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有 fx+Ax,y)f(x,y)≈/f(x,y)△x, f(x,y+△y)f(x,y)≈(x,y)△y, fx+△x,y)f(x,y)—函数x,y)对x的偏增量 f(x,y+4y)fx,y)—函数fx,y)对y的偏增量 f(x,y)△x 函数f(x,y)对x的偏微分 fx, yA 函数f(x,y)对y的偏微分 今全增量 △=f(x+△x,y+△y)-f(x,y 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、全微分的定义 ————函数f(x, y)对x的偏微分 ——函数f(x, y)对y的偏增量 ————函数f(x, y)对y的偏微分 ❖全增量 z=f(x+x, y+y)−f(x, y). ❖偏增量与偏微分 f(x+x, y)−f(x, y)f x (x, y)x, f(x, y+y)−f(x, y)f y (x, y)y, ——函数f(x, y)对x的偏增量 下页 根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 f(x+x, y)−f(x, y) f(x, y+y)−f(x, y) f x (x, y)x f y (x, y)y

今全微分的定义 如果函数z=(x,y)在点(x,y)的全增量 fx+△x,y+△y)f(x,y) 可表示为 A=Ax+By+0(p)(=√(x)2+(4y)2), 其中A、B不依赖于Ax、Ay而仅与x、y有关,则称函数z=(x,y) 在点(x,y)可微分,而AAx+BAy称为函数z=(x,y)在点(x,y)的全 微分,记作dz,即 dz=A△x+B△ (x+△x,y+△y) 如果函数在区域D内各点处都可微分,那么称这函数在D 内可微分 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖全微分的定义 其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关, 则称函数z=f(x, y) 在点(x, y)可微分, 而Ax+By称为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全 微分, 记作dz,即 dz=Ax+By. 如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 下页 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量 z=f(x+x, y+y)−f(x, y) 可表示为 ( ) ( ( ) ( ) ) 2 2 z = Ax+By+o   = x + y

今可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 这是因为,如果z=f(x,y)在点(x,y)可微,则 =(x+Ax,y+△y)f(x,y)=A△x+BAy+O(), 于是 lim△z=0 从而imf(x+Ax,y+Ay)=lm[f(x,y)+A]=f(x,y) 因此函数=x,y)在点()处连+0 (△x,4y)->(0,0) 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 这是因为, 如果z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则 z=f(x+x, y+y)−f(x, y) =Ax+By+o(), 因此函数z=f(x, y)在点(x, y)处连续. 下页 lim 0 0  = → z  于是 , lim ( , ) lim [ ( , ) ] ( , ) ( , ) (0,0) 0 f x x y y f x y z f x y x y + + = + =   → → 从而 lim ( , ) lim [ ( , ) ] ( , ) . ( , ) (0,0) 0 f x x y y f x y z f x y x y + + = + =   → → lim ( , ) lim [ ( , ) ] ( , ) . ( , ) (0,0) 0 f x x y y f x y z f x y x y + + = + =   → →

今可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 今可微分的必要条件 如果函数=(x,y)在点(x,y)可微分,则函数在该点的偏导 数 、2必定存在,且函数=f(x,y)在点(x,y的全微分为 d=C△x+C△y,>> 今应注意的问题 偏导数存在是可微分的必要条件,但不是充分条件> 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖可微分的必要条件 >>> ❖应注意的问题 >>> 下页 ❖可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导 数 x z   、 y z   必定存在, 且函数 z=f(x, y)在点(x, y)的全微分为 y y z x x z dz     +   = . 偏导数存在是可微分的必要条件,但不是充分条件

今可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 今可微分的必要条件 如果函数=(x,y)在点(x,y)可微分,则函数在该点的偏导 数 、2必定存在,且函数=f(x,y)在点(x,y的全微分为 dz=△x+△ 今可微分的充分条件 如果函数={x,y)的偏导数、在点(,y)连续, 则函数在该点可微分 以上结论可推广到三元及三元以上函数 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖可微分的充分条件 以上结论可推广到三元及三元以上函数. 下页 ❖可微分的必要条件 ❖可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导 数 x z   、 y z   必定存在, 且函数 z=f(x, y)在点(x, y)的全微分为 y y z x x z dz     +   = . 则函数在该点可微分. 如果函数 z=f(x, y)的偏导数 x z   、 y z   在点(x, y)连续

今叠加原理 按着习惯,Ax、4y分别记作dx、dy,并分别称为自变量的 微分,这样函数z=x,y)的全微分可写作 dz=odx+ody 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为 二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上的函数,例如=f(x,y,z)的全 微分为 dx t dy+ 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖叠加原理 按着习惯, x、y分别记作dx、dy, 并分别称为自变量的 微分, 这样函数z=f(x, y)的全微分可写作 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为 二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如u=f(x, y, z)的全 微分为 下页 dy y z dx x z dz   +   = . dz z u dy y u dx x u du   +   +   =

设=f(x,y),则az dx+dy ax 例1计算函数=x2y+y2的全微分 解因为02=2xy,02, 所以 dz=2xydx+(x+2y)dy 例2计算函数z=e在点(2,1)处的全微分 解因为a=1e2 xe axl=2=e2 2e 所以 dz=edx+2e-dy 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 计算函数z=x 2y+y 2的全微分. 解 所以 例2 计算函数z=e xy在点(2, 1)处的全微分. 解 所以 dz=2xydx+(x 2+2y)dy. dz=e 2dx+2e 2dy. 下页 设 z=f(x, y), 则 dy y z dx x z dz   +   = . 解 因为 xy x z =2   , x y y z 2 2 = +   解 因为 xy , x z =2   , x y y z 2 2 = +   因为 , 因为 xy ye x z =   , xy xe y z =   , xy ye x z =   , xy xe y z =   , 2 1 2 e x z y x =   = = , 2 1 2 2e y z y x =   = = , 2 1 2 e x z y x =   = = , 2 1 2 2e y z y x =   = =

设v=(x,y,2,则ah=amax+my+a OX 例3计算函数=x+m2+e=的全微分 解因为叫=1,22 1 +ze ye V 所以 du=dx+(cos2+ze] 2)dy+ ye -dz 快记箬记 偏导数连续→函数可分 函数可微分哪偏导数连续 自 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 设 u=f (x, y, z), 则 dz z u dy y u dx x u du   +   +   = . 例 例 3 3 计算函数 yz e y u = x+ + 2 sin 的全微分. 因为 =1   x u , yz ze y y u = +   2 cos 2 1 , yz ye z u =   因为 因为 =1 ,   x u , yz ze y y u = +   2 cos 2 1 , yz ye z u =   因为 =1 ,   x u , yz ze y y u = +   2 cos 2 1 , yz ye z u =   , 所以 ze dy ye dz y du dx yz yz = + + ) + 2 cos 2 1 所以 (

二*全微分在近似计算中的应用 当函数=fx,y)在点(x,y)的两个偏导数(x,y),fx,y)连续, 并且Ax,y都较小时,有近似等式 △≈dz=x(x,y)△x+(x,y)y, fx+Ax,y+△y)≈(x,y)+x(x,y)△x+1(x,y)2y 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二*、全微分在近似计算中的应用 当函数z=f(x, y)在点(x, y)的两个偏导数f x (x, y), f y (x, y)连续, 并且|x|, |y|都较小时, 有近似等式 zdz=f x (x, y)x+f y (x, y)y , 即 f(x+x, y+y)f(x, y)+f x (x, y)x+f y (x, y)y . 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算. 下页