《高等数学》课程教学资源：第一章 函数与极限（1.2）数列的极限

§1.2数列的极限 、数列极限的定义 二、收敛数列的性质 自贝

一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质 §1.2 数列的极限 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、数列极限的定义 今引例 如何用渐近的方法求圆的面积S? 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S A1表示圆内接正6边形面积 A2表示圆内接正12边形面积, A3表示圆内接正24边形面积 An表示圆内接正6×2m边形面积 显然n越大,A,越接近于S 因此,需要考虑当n→>∞时,An的变化趋势 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、数列极限的定义 ❖引例 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S. 下页 A123 A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积, A3表示圆内接正24边形面积, An表示圆内接正62 n-1边形面积,      ,       . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n→时, An的变化趋势

今数列 如果按照某一法则,对每一n∈N+,对应着一个确定的 实数x,则得到一个序列 W1.ox 这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的 般项 数列举例: 234 n+1 2,4,8,……,2 2’4’8 1,-1,1,…,(-1 首页 返回 页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖数列 如果按照某一法则, 对每一nN+ , 对应着一个确定的 实数xn , 则得到一个序列 x1 , x2 , x3 ,    , xn ,    , 这一序列叫做数列, 记为{xn }, 其中第n项xn叫做数列的一 般项. 下页 数列举例: 2, 4, 8,    , 2 n ,    ; { 2n 1 } 2 1 , 4 1 , 8 1 ,    , 2n 1 ,    ; 1, -1, 1,    , (-1) n+1 ,    . 2 1 , 3 2 , 4 3 ,    , n+1 n   ;

今数列 如果按照某一法则,对每一n∈N+,对应着一个确定的 实数xn,则得到一个序列 W1.ox 这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的 般项 数列的几何意义 数列{xn}可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴 上的点x1,x2,x3,……,x,… X4 x3 x5 x 首页页返回结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 x1 xn x4 x3 x5 x2 数列{xn }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴 上的点x1 , x2 , x3 ,    , xn ,   . •数列的几何意义 ❖数列 如果按照某一法则, 对每一nN+ , 对应着一个确定的 实数xn , 则得到一个序列 x1 , x2 , x3 ,    , xn ,    , 这一序列叫做数列, 记为{xn }, 其中第n项xn叫做数列的一 般项. 下页

今数列 如果按照某一法则,对每一n∈N+,对应着一个确定的 实数x,则得到一个序列 W1.ox 这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的 般项 数列与函数 数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数 x2=f(m),n∈N+ 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 数列{xn }可以看作自变量为正整数n的函数 xn =f(n), nN+ . •数列与函数 ❖数列 如果按照某一法则, 对每一nN+ , 对应着一个确定的 实数xn , 则得到一个序列 x1 , x2 , x3 ,    , xn ,    , 这一序列叫做数列, 记为{xn }, 其中第n项xn叫做数列的一 般项. 下页

今数列极限的通俗定义 当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项x,无限接近 于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{x}收 敛a,记为 lim.=a n→>00 例如 n→>∞n+1 m2=0 lim n+(1)n-1 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例如 当n无限增大时, 如果数列{xn }的一般项xn无限接近 于常数a, 则常数a称为数列{xn }的极限, 或称数列{xn }收 敛a, 记为 xn a n = → lim . 下页 ❖数列极限的通俗定义 1 1 lim = → n+ n n , 0 2 1 lim = → n n , 1 ( 1) lim 1 = + - - → n n n n . 1 1 lim = → n+ n n , 0 2 1 lim = → n n , 1 ( 1) lim 1 = + - - → n n n n

当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项x,无限接近 于常数a,则数列{xn}收敛a °分析 当n无限增大时,x无限接近于a 台当n无限增大时,xn-a无限接近于0 台当n无限增大时,xna可以任意小,要多小就能有多小 台当n增大到一定程度以后,xn-a能小于事先给定的任意 小的正数.>> 因此,如果n增大到一定程度以后,pxn-al能小于事先 给定的任意小的正数,则当n无限增大时,x,无限接近于常 数a 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意 小的正数. •分析 因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先 给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常 数a. 当n无限增大时, 如果数列{xn }的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn }收敛a. 下页 >>>

今数列极限的精确定义 设{xn}为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正 数E,总存在正整数N,使得当n>N时,不等式 a s8 都成立,则称常数a是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收 敛于a,记为 ixn=a或xn-)a(m->∞) n→)00 如果不存在这样的常数a,就说数列{xn}没有极限 或说数列{xn}是发散的,习惯上也说lxn不存在 n→> 极限定义的简记形式 imx=a分VE>0,N∈N+,当n>N时,有na00 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖数列极限的精确定义 设{xn }为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正 数e , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式 |xn-a |<e 都成立, 则称常数a是数列{xn }的极限, 或者称数列{xn }收 敛于a, 记为 如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn }没有极限, xn a n = → lim 或 xn→a (n→). 下页 或说数列{xn }是发散的, 习惯上也说 n n x → lim 不存在. e 0, NN+ , 当nN时, 有|x x a n-a|e . n n = → lim •极限定义的简记形式

inx=aVE>0,N∈N+,当m>N时,有n以00 今数列极限的几何意义 口任意给定a的邻域(a=,a+B) 存在N∈N+,当nN时,点x全都落在邻域(a-E,a+a)内: (.)。 a-8 a+a 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 a-e a a+e ( ) ❖数列极限的几何意义 xn a n = → lim e 0, NN+ , 当nN时, 有|xn-a|e . 下页 •存在 NN+ , 当nN时, 点xn全都落在邻域(a-e, a+e)内 任意给定a的e邻域(a-e, a+e)

inx=aVE>0,N∈N+,当m>N时,有n以00 例1证明lim n+(-1)-1 n→00 证明因为vE>0,3N=中eN,当mN时,有 A-1=12+(1y1 1=-0,要使xn-1k<,只要1<E,即n1 首页 上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 分析: 例 例 1 1. 证明 1 ( 1) lim 1 = + - - → n n n n . 证明 |xn -1|= - = e + - - n n n n 1 1| ( 1) | 1 , 所以 1 ( 1) lim 1 = + - - → n n n n . 下页 证明 因为e 0,  ] 1 [ e N = N + 证明 因为e 0,  [ 1 ] , 当 nN 时, 有 e N = N + 证明 因为e 0,  [ 1 ] , 当 nN 时, 有 e N = N + , 当 nN 时, 有 xn a n = → lim e 0, NN+ , 当nN时, 有|xn-a|e . 对于e >0, 要使|xn -1|e , 只要 e n 1 , 即 e 1 n . |xn -1|= n n n n 1 1| ( 1) | 1 - = + - - . 对于e >0, 要使|xn -1|e , 只要 e n 1 , 即 e 1 n