《高等数学》课程教学资源：第三章 微分中值定理与导数的应用（3.5）函数的极值与最大值最小值

§3.5函数的极值与最大值最小值 、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题 自贝

§3.5 函数的极值与最大值最小值 首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题

、函数的极值及其求法 今函数的极值 设函数x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,如果对于任意 x∈U(x)有 f(x)f(x0) 则称/(x0)是函数x)的一个极大值(或极小值) 函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得 极值的点称为极值点 y=(x) 提问: fa)和fb)是极值吗? 观察与思考 观察极值与切线的关系.dax1xx3x4xbx 上页返回 结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提问： f(a)和 f(b)是极值吗？ ❖函数的极值 下页 一、函数的极值及其求法 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0 )内有定义 如果对于任意 xU(x0 )有 f(x)f(x0 ) (或f(x)f(x0 )) 则称f(x0 )是函数f(x)的一个极大值(或极小值) 。 x1 x2 x3 x4 x5 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得 极值的点称为极值点 观察与思考： 观察极值与切线的关系

今定理1(必要条件 设函数(x)在点x处可导,且在x处取得极值, 那么f(x)=0.> °驻点 使导数f(x)为零的点(方程f(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点 讨论: 极值点是否一定是驻点? y=(x) 驻点是否一定是极值点? 考察x=0是否是函数y=x3的 驻点,是否是函数的极值点 a x1 x2 x3 x4 x 页返回 结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数f(x)在点x0处可导 且在x0处取得极值 那么f (x0 )=0 •驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点 ❖定理1(必要条件) 下页 >>> 讨论： 极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 考察x=0是否是函数y=x 3的 驻点 是否是函数的极值点 x1 x2 x3 x4 x5

今定理1(必要条件 设函数(x)在点x处可导,且在x处取得极值, 那么f(x)=0 °驻点 使导数f(x)为零的点(方程f(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点 观察与思考: (1)观察曲线的升降与极值+y y=(x) 之间的关系 (2)观察曲线的凹凸性与极 值之间的关系 a x1 x2 x3 x4 x 页返回 结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数f(x)在点x0处可导 且在x0处取得极值 那么f (x0 )=0 •驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点 ❖定理1(必要条件) 下页 观察与思考： (1)观察曲线的升降与极值 之间的关系 (2)观察曲线的凹凸性与极 值之间的关系 x1 x2 x3 x4 x5

今定理2(第一充分条件) 设函数x)在x处连续,且在(a,x0)(x02b)内可导 (1)如果在(a,x0)内f(x)>0,在(x0,b)内f(x)0,那么函数(x) 在x处取得极小值; (3)如果在(an,x0)及(x0,b)内f(x)的符号相同,那么函数(x) 在x0处没有极值 =(x) a x1 x2 x3 x4 x 页返回 结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数f(x)在x0处连续且在(a x0 )(x0  b)内可导 (1)如果在(a x0 )内f (x)0 在(x0  b)内f (x)0 那么函数f(x) 在x0处取得极大值 (2)如果在(a x0 )内f (x)0 在(x0  b)内f (x)0 那么函数f(x) 在x0处取得极小值 (3)如果在(a x0 )及(x0  b)内 f (x)的符号相同 那么函数f(x) 在x0处没有极值 下页 ❖定理2(第一充分条件) x1 x2 x3 x4 x5

今定理2(第一充分条件) 设函数x)在x处连续,且在(a,x0)(x02b)内可导 (1)如果在(a,x0)内f(x)>0,在(x0,b)内f(x)0,那么函数(x) 在x处取得极小值; (3)如果在(an,x0)及(x0,b)内f(x)的符号相同,那么函数(x) 在x0处没有极值 今确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数f(x) (2)求出x)的全部驻点和不可导点 (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f(x)的符号; (4)确定出函数的所有极值点和极值 首页上页返回结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数f (x) (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点 (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号 (4)确定出函数的所有极值点和极值 下页 设函数f(x)在x0处连续且在(a x0 )(x0  b)内可导 (1)如果在(a x0 )内f (x)0 在(x0  b)内f (x)0 那么函数f(x) 在x0处取得极大值 (2)如果在(a x0 )内f (x)0 在(x0  b)内f (x)0 那么函数f(x) 在x0处取得极小值 (3)如果在(a x0 )及(x0  b)内 f (x)的符号相同 那么函数f(x) 在x0处没有极值 ❖定理2(第一充分条件)

例1求函数f(x)=(x-4(x+1)2的极值 解(1)f(x)在(-∞,+∞)内连续,除x=1外处处可导,且 (x)=5(x 3x+1 (2)令f(x)=0,得驻点x=1;x=-1为f(x)的不可导点; (3)列表判断 +oO f(x)+不可导 f(x) 0 (4)极大值为f(-1)=0,极小值为f(1)=-34 蒋页 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 1 求函数 3 2 例1 f (x)=(x−4) (x+1) 的极值 解 (1)f(x)在(− +)内连续 除x=−1外处处可导且 3 3 1 5( 1) ( ) + −  = x x f x  (3)列表判断 (2)令f (x)=0 得驻点x=1 x=−1为f(x)的不可导点 3 −3 4 3 −3 4 3 −3 4 3 −3 4 (− −1) −1 (−1 1) 1 (1 +) + 不可导 − 0 + x f (x) f(x) ↗ 0 ↘ 3 ↗ −3 4 (4)极大值为 f(−1)=0 极小值为 3 f (1)=−3 4 

今定理3(第二充分条件) 设函数f(x)在点x处具有二阶导数且f(x0)=0,f"(x0)≠=0, 那么 (1)当"(x0) (2)当"(x0)>0时,函数x)在x处取得极小值 应注意的问题: 如果/(x0)=0,f"(xo)=0,则定理3不能应用,但不能由此 说明f(xo)不是f(x)的极值 讨论: 函数(x)=x2,g(x)=x32在点x=0是否有极值?> 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理3(第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0 )=0 f (x0 )0 那么 (1)当f (x0 )0时 函数f(x)在x0处取得极大值 (2)当f (x0 )0时 函数f(x)在x0处取得极小值 应注意的问题： 如果f (x0 )=0 f (x0 )=0 则定理3不能应用 但不能由此 说明f (x0 )不是f (x)的极值。 讨论： 函数f(x)=x 4  g(x)=x 3在点x=0是否有极值？ 下页 >>> >>>

例2求函数(x)=(x2-1)3+1的极值 解∫(x)=6x(x2-1)2 令∫(x)=0,求得驻点x=1,x2=0,x3=1 f"(x)=6(x2-1)(5x2-1) 因为(0)=6>0,所以f(x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0 因为(-1)=(1)=0,所以用定理3无法判别 因为在-1的左右邻域内f(x)<0, =(x 所以(x)在-1处没有极值 同理,f(x)在1处也没有极值 O 自贝 页返回 页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 求函数f(x)=(x 2−1)3+1的极值 解 f (x)=6x(x 2−1)2  令f (x)=0 求得驻点x1=−1 x2=0 x3=1 f (x)=6(x 2−1)(5x 2−1) 因为f (0)=60 所以f (x)在x=0处取得极小值 极小值为f(0)=0 因为f (−1)=f (1)=0 所以用定理3无法判别 因为在−1的左右邻域内f (x)0 所以f(x)在−1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值 首页

二、最大值最小值问题 观察与思考: 观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点, 怎样求函数的最大值和最小值 =f( o axi X2 X3 X4 x5 上页返回 结束 铃

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