《数学物理方程》课程PPT教学课件（讲稿）第十二章 格林函数 12.1 泊松方程的格林函数法 12.2 电像法求格林函数

第十二章格林函数 12.1泊松方程的格林函数法 定解=通解十边界条件 有源问题 求通解=积分 1.源问题 定解=积分+边界条件 例静电场a.无界空间 (格林函数法) 处静电场 48

第十二章 格林函数 12.1 泊松方程的格林函数法 有源问题 定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分  定解＝积分＋边界条件 （格林函数法） 1. 源问题 例 静电场 ( ') r r r ' r r − ' r 处静电场 0 1 ( ') ( ) ' 4 ' r r dr r r    = −  a.无界空间

b有界空间 边界上可能出现感应电荷 r处静电场是源电荷与感应电荷 的电势之和。 感应电荷是源电荷的结果 +++++ 计算变成 由p(F)计算感应电荷,然后 p(7) p(") dr+ 48 是否能一次解决

( ') r r r ' r r − ' b.有界空间 +++++++ −−−−−−−−−− 边界上可能出现感应电荷 r 处静电场是源电荷与感应电荷 的电势之和。 感应电荷是源电荷的结果。 计算变成 由 0 1 ( ') ( ') ( ) [ ' '] 4 ' ' g r r r dr dr r r r r     = + − −   ( ') r 计算感应电荷，然后 是否能一次解决

感应电荷是边界问题 定解=通解十边界条件 2.格林公式 求通解=积分 第一格林公式 区域T,边界∑ 定解=积分+边界条件 (格林函数法) 设()和v(m)在T中具有连续二阶导数 在∑上有连续一阶导数。由高斯定理 T ∫nNr;ds=J∫(Nv) =』yryw+∫ Z△w

定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分  定解＝积分＋边界条件 （格林函数法） 2. 格林公式 第一格林公式： 区域 T，边界  T  设 和 在 T 中具有连续二阶导数， 在 上有连续一阶导数。由高斯定理 u(r)  v(r)   u v dS      ( ) T =    u v dV  T T =   +  u vdV u vdV   感应电荷 是边界问题

第二格林公式: 交换l()和v(F): 与上式相减 (uVv-vVu)ds ∫ (△v-v△a)d T 即 on an ∫(△v=△n)d 法向导数

第二格林公式： v u dS v udV v udV T T   =   +       交换 u(r) 和 ：  v(r)  与上式相减 u v v u dS u v v u dV T (  −  ) = (  −  )     即 dS u v v u dV n u v n v u T ( ) = (  −  )   −       n  法向导数

3.边值问题 泊松方程△=f(F) 边界条件 a2+=0(E 卯(2)定义在∑ a=0,B≠0第一类边界条件 a≠0,B=0第二类边界条件 a≠0,B≠0第三类边界条件 泊松方程与第一类边界条件,构成第一边值问题(狄里希利问题) 泊松方程与第二类边界条件,构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件,构成第三边值问题

3. 边值问题 泊松方程 u f (r)   = 边界条件 [ + ] = ()    u   n u () 定义在   = 0,  0 第一类边界条件   0, = 0 第二类边界条件   0,  0 第三类边界条件 泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题) 泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题

4.泊松方程的基本积分公式 点源泊松方程△v(,)=δ(-元) 单位负电荷在 ∫(2-=△)d 6(-6)奇异,不能化为 面积分。在T中挖掉半 径E,在的小球K。。 小球边界Σ 边界条件无法带入积分之中!

4. 泊松方程的基本积分公式 点源泊松方程 ( , ) ( ) 0 0 v r r r r      =  − 单位负电荷在 0 r  T  0 r   K 0 x y z vfdV u r r dV v u u v dV T T T    = − −  −  ( ) ( ) 0    ( ) 0 r r    − 奇异，不能化为 面积分。在 T 中挖掉半 径 ，在 的小球 。 小球边界 。 0 r   K  边界条件无法带入积分之中！

⑩o n-△v)d=∫( ou uds an an IS+[(v 24、 O 在T-K。,6(7-)=0 ∫yr T-K v(7)和v()连续。 E→0 yr→∫ 7-K2 T ou ds De ou dg2 ou d92 4丌EOn 4T On a au 0 4丌On

  − +  −   −  =   dS nv u nu v u u v dV v T K ( ) ( )      −  +  −  =  dS nv u nu dS v nv u nu (v ) ( ) 在 T − K ， ( r − r0 ) = 0 。    vfdV T K  − =   → 0 u ( r )  v ( r )  和 连续。 v fdV v fdV T K T  →  −        = −       d nu dS nu v 2 ) 4 1 (    = −   d nu 4    = −   d nu 4 nu  = −  → 0

S=u[ (-,)dS u-rdQ =-l(7 ar 4 4丌 (G)=小VG,)f(F)d ∫vG石)C u(r) Ov(r, r Jas 这样,边界条件进入积分之中!泊松方程的基本积分公式。 解v(F)在区域T中一点的值v(G)通过上面积分,由源项对区域的 积分(右第一项),和边值得积分(右第二项)给出

    −   = −      dS r r dS u n v u )] 4 1 [ (   = −    r d r u 2 2 1 4 1 ( ) 0 = −u r ] . ( , ) ( ) ( ) [ ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0 0 0 0      −   − = − dS n v r r u r n u r v r r u r v r r f r dV T           这样，边界条件进入积分之中！泊松方程的基本积分公式。 解 在区域 T 中一点 的值 通过上面积分，由源项对区域的 积分（右第一项），和边值得积分（右第二项）给出。 0 r  u(r)  ( ) 0 u r 

格林函数: 将冲量定理法扩展到空间坐标 (x:)=。J=0)(x=500-)ddr 对两端固定的弦 G|x0=G|x=0 G -a'G=d(x-58(t-t 问题变成 =0 G.-aG=0 Gl=x0=0,G|x=(x-5) (x,t)= f(5,r)G(x,t2)d5. 0 l(G)=川v(,)f(F)l ou( v(F,) u(r av(r, olds

格林函数： 将冲量定理法扩展到空间坐标 0 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) . t l f x t f x t d d           = = = − −   对两端固定的弦 2 ( ) ( ); G a G x t tt xx − = − −     0 0; G G x x l = = = = 0 0 0. G G t t t = = = = 2 0 G a G tt xx − = 0 0; G G x x l = = = = 0 0 0, ( ). G G x t t t = + = +   = = −   问题变成 0 0 ( , ) ( , ) ( , , ) . t l u x t f G x t d d        = = =   ] . ( , ) ( ) ( ) [ ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0 0 0 0      −   − = − dS n v r r u r n u r v r r u r v r r f r dV T          

5.边值问题的格林函数 还需知道点源泊松方程度解的边界条件。 第一边值问题(狄里希利问题)2=9(2 △v(,70 v(F2)=G(,6) 第一边值问 题格林函数 l(0) ∫(G+』w rI ds an 第三边值问题 △v(F,)=δ(7-0) →v(F2,6)=G(F,石) 第三边值问 题格林函数 [a+ Bv2=0

5. 边值问题的格林函数 还需知道点源泊松方程度解的边界条件。 ( , ) ( ) 0 0 v r r r r      =  − v(r,r0 )  = 0    ( , ) ( , ) 0 0 v r r G r r     = 第一边值问题(狄里希利问题) = () u   . ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 0 0  0     = + dS n G r r u r G r r f r dV r T         第三边值问题 [ + ] = ()    u   n u 第一边值问 题格林函数 ( , ) ( ) 0 0 v r r r r      =  −  ( , ) ( , ) 0 0 v r r G r r     = 第三边值问 题格林函数 [ + ] = 0    v n v  