《高等数学》课程教学资源：第二章 导数与微分（2.6）由方程所确定的函数的导数

§2.6由方程所确定的函数的导数 、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 自贝

一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 §2.6 由方程所确定的函数的导数 首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、相关变化率

隐函数的导数 今显函数与隐函数 形如y=(x)的函数称为显函数 例如, y-sin x,y=lnx+ex都是显函数 由方程F(x,y)=0所确的函数称为隐函数 例如,方程x+y3-1=0确定的隐函数为y=31-x 把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、隐函数的导数 ❖显函数与隐函数 形如y=f(x)的函数称为显函数 例如 y=sin x y=ln x+e x 都是显函数 由方程F(x y)=0所确的函数称为隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 例如 方程x+y 3−1=0确定的隐函数为 3 y = 1−x  下页

隐函数的导数 今隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数,然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出 例1求由方程e+xy-e=0所确定的隐函数y的导数 解方程中每一项对x求导得 (ey)y+(xy)-(e)=(0) 即 从而y= (x+e≠0) x+ey 提示:(e)=ey,(xy)=y+y 首页上页返回结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示: 例1 求由方程e y+xy−e=0所确定的隐函数y的导数 (e y )+(xy)−(e)=(0) 即 e y y+y+xy=0 ❖隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出 一、隐函数的导数 解 方程中每一项对x求导得 从而 y x e y y +  =− (x+e y 0) (e (xy)=y+xy y )=e y y  下页

例2求由方程y5+2x-3x=0所确定的隐函数y=(x) 在x=0处的导数y=0 解法一把方程两边分别对x求导数得 5y4y+2y-1-21x5=0, 由此得y 1+21x 5y4+2 因为当x=0时,从原方程得y=0,所以 1+21x y4+2=0 5 2 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 求由方程y 5+2y−x−3x 7=0所确定的隐函数y=f(x) 在x=0处的导数y| x=0  因为当x=0时 从原方程得y=0 所以 5y 4 y+2y−1−21x 6=0 解法一 把方程两边分别对x求导数得 由此得 5 2 1 21 4 6 + +  = y x y  2 1 | 5 2 1 21 | 0 4 6 0 = + +  x= = x= y x y  下页

例2求由方程y5+2x-3x=0所确定的隐函数y=(x) 在x=0处的导数y 解法二把方程两边分别对x求导数得 5y4y2+2y-1-21x6=0, 根据原方程,当x=0时,y=0,将其代入上述方程得 2y-1=0 从而y x=0 =0.5 【结论】 3【结论】 无理函数求导 用对数求导法/2 多1求幂指函数y=(x)2导数, 只能采用对数求导法。 效果特别好 Iny =v(x) Inu(x). =l“(ylnu+) 首页 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 5y 4 y+2y−1−21x 6=0 根据原方程 当x=0时 y=0 将其代入上述方程得 2y−1=0 从而 y| x=0=05 解法二 把方程两边分别对x求导数得 下页 例2 求由方程y 5+2y−x−3x 7=0所确定的隐函数y=f(x) 在x=0处的导数y| x=0 

例3求椭圆+=1在(2,33处的切线方程 解把椭圆方程的两边分别对x求导,得 x +ayy=0, 从而 9x 16y 当x2时,y=33,代入上式得所求切线的斜率 k=yrs? 所求的切线方程为 y=3=0(x-2),即√x+4y-83=0 上页返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例 例 3 3 求椭圆 1 16 9 2 2 + = x y 在 3) 2 3 (2, 处的切线方程 把椭圆方程的两边分别对x求导 得 所求的切线方程为 从而 y x y 16 9  =−  当 x=2 时 3 2 3 y =  代入上式得所求切线的斜率 4 3 | k = y  x=2 =−  ( 2) 4 3 3 2 3 y− =− (x−2)  即 3x+4y−8 3 =0  4 3 3 2 3 y− =− x−  即 3x+4y−8 3 =0  当 x=2 时 3 2 3 当 x=2 时 y = 3  代入上式得所求切线的斜率 2 3 y =  代入上式得所求切线的斜率 下页 0 9 2 8 + y y  = x  

例4求由方程x-y+siny=0所确定的隐函数y 的二阶导数 解方程两边对x求导,得 +-coS dy 0 dx 2 于是 dy 2 dx 2-cosy 上式两边再对x求导,得 any. dx sin y dx2(2-cosy)2(2-cosy)3 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 上式两边再对x求导 得 的二阶导数 例 例 4 4 ．求由方程 sin 0 2 1 x− y+ y = 所确定的隐函数 y 方程两边对x求导 得 cos 0 2 1 1− +  = dx dy y dx dy  于是 dx y dy 2 cos 2 − =  2 2 3 2 (2 cos ) 4sin (2 cos ) 2sin y y y dx dy y dx d y − − = − −  =  2 2 3 2 (2 cos ) 4sin (2 cos ) 2sin y y y dx dy y dx d y − − = − −  =  2 2 3 2 (2 cos ) 4sin (2 cos ) 2sin y y y dx dy y dx d y − − = − −  =  下页

今对数求导法 此方法是先在y=fx)的两边取对数,然后用隐函数求 导法求出y的导数 设y=(x),两边取对数,得 In y=In f(x) 两边对x求导,得 y=[ f(x)I y=f(x). [In f(x) 对数求导法适用于求幂指函数y=[(x))的导数及多 因子之积和商的导数 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 y= f(x)[ln f(x)] 对数求导法适用于求幂指函数y=[u(x)]v(x)的导数及多 因子之积和商的导数 此方法是先在y=f(x)的两边取对数 然后用隐函数求 导法求出y的导数 设y=f(x) 两边取对数 得 ln y=ln f(x) 两边对x 求导 得 ❖对数求导法 [ln ( )] 1 y  = f x  y  下页

例5求y=xsmx(x>0)的导数 解法一两边取对数,得 In y=sin x In x, 上式两边对x求导,得 y=cosx Inx+sinx.) 于是y=y( coSx Inx+sinx.)=xsmx( cosx Inx+mx) 解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 y=x sinx=e sinx'Inx y=esinxinx(sinx.In x)=xs sinx(cosxInr+onr 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例5 求y=x sin x (x>0)的导数 x y x x x y 1 cos ln sin 1  =  +   于是 ) 1 (cos ln sin x y  = y x x+ x ) sin sin (cos ln x x x x x = x  +  解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 解法一 上式两边对x 求导 得 两边取对数 得 ln y=sin xln x y=x sin x=e sin x·ln x  ) sin sin ln (sin ln ) sin (cos ln x x y e x x x x x  = x x   = x  + )  sin sin l n (sin ln ) sin (cos ln x x y e x x x x x  = x x   = x  +  下页

例6求函数y (x-1)(x-2 的导数 V(x-3)(x-4 解先在两边取对数,得 ny=[m(x-1)+n(x-2)hn(x3)-hn(x-4), 上式两边对x求导,得 x-2x-3x-4 于是y=2(1,+1-1-1 说明 格来说,本题应分x>4,x<1,2<x<3三种情况讨论, 但结果都是一样的 首页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 上式两边对x求导 得 说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的 例 例 6 6 求函数 ( 3)( 4) ( 1)( 2) − − − − = x x x x y 的导数 先在两边取对数 得 ln y 2 1 = [ln(x−1)+ln(x−2)−ln(x−3)−ln(x−4)] ) 4 1 3 1 2 1 1 1 ( 2 1 1 − − − − − + −  = x x x x y y  于是 ) 4 1 3 1 2 1 1 1 ( 2 − − − − − + −  = x x x x y y  解 首页