《高等数学》课程教学资源：第六章 定积分的应用（6.2）定积分在几何学上的应用

§6.2定积分在几何学上的应用 平面图形的面积 二、体积 平面曲线的弧长 自

一、平面图形的面积 二、体积 §6.2 定积分在几何学上的应用 三、平面曲线的弧长 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、平面图形的面积 1.直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线 y=/(x)与y=f(x)及左右两条直线 Xtax x=a与x=b所围成 O bx 在点x处面积增量的近似值为 y=(x) I(r-f(x)ldx 它也就是面积元素 因此平面图形的面积为 S=U2(x)-fF(x)kx 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 [f上(x)− f下(x)]dx, 它也就是面积元素. 一、平面图形的面积 设平面图形由上下两条曲线 y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线 x=a与x=b所围成. 因此平面图形的面积为 在点x处面积增量的近似值为 1.直角坐标情形 S f x f x dx b a  = [ 上( )− 下( )] . 下页

S=1(x)-f(x).S=[4()-92( 讨论: 由左右两条曲线x=(0)与x=0() 及上下两条直线yd与y=c所围成的平面a Xtax 图形的面积如何表示为定积分? O bx 提示: y=(x) 面积元素为[=()0=()]dhy, 面积为S=12(y)=92(y)kb.=0)+ x=右() C 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 讨论： 由左右两条曲线x=j左(y)与x=j右(y) 及上下两条直线y=d与y=c所围成的平面 图形的面积如何表示为定积分？ 提示： 面积为 面积元素为[j右(y)−j左(y)]dy,  = − d c S [j 右(y) j 左(y)]dy . 下页 S f x f x dx b a  = [ 上( )− 下( )] .  = − d c S [j 右(y) j 左(y)]dy

S=1(x)-f(x).S=[4()-92( 例1计算抛物线y2=x与y=x2所围成的图形的面积 解(1)画图 (2)确定在x轴上的投影区间:[0,1]; (3)确定上下曲线:f(x)=√x,f1(x)=x (4)计算积分 V-x x-x dx 0 X 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 (3)确定上下曲线 2 f 上(x)= x, f 下(x)=x . 例1 计算抛物线y 2=x与y=x 2所围成的图形的面积. 解 (2)确定在x轴上的投影区间 (4)计算积分 [0, 1]; S f x f x dx b a  = [ 上( )− 下( )] .  = − d c S [j 右(y) j 左(y)]dy . (1)画图; (3)确定上下曲线 2 f 上(x)= x, f 下(x)=x .  = − 1 0 2 S ( x x )dx 3 1 ] 3 1 3 2[ 1 0 2 3 3 = x − x = . 下页

S=1(x)-f(x).S=[4()-92( 例2计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积 解(1)画图 2)确定在y轴上的投影区间:[-2,4 (3)确定左右曲线 0左(y)=y2,右(y)=y+4 4 (4,8) (4)计算积分 2=2x S 2()+4-2 )dy +4y y2=18 2 (-2,2) 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 计算抛物线y 2=2x与直线y=x−4所围成的图形的面积. (2)确定在y轴上的投影区间 (4)计算积分 (3)确定左右曲线 [−2, 4]. S f x f x dx b a  = [ 上( )− 下( )] .  = − d c S [j 右(y) j 左(y)]dy . 解 (1)画图; , ( ) 4 2 1 ( ) 2 j 左 y = y j 右 y = y+ .  − = + − 4 2 2 ) 2 1 S (y 4 y dy] 18 6 1 4 2 1[ 4 2 2 3 = y + y− y − = . 下页

例3求椭圆x+y=1所围成的图形的面积 b 解椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍. 椭圆在第一象限部分的面积元素为ydx, 于是S=4yk 因为椭圆的参数方程为 x=acost,y=bint, 所以 o xx+dx/a x S=4 ydx=4 bsin td(acost) -Aab sin tdt=2ab[2(-cos2t)dt 2ab.=abr 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 3 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a 例3 x 所围成的图形的面积. 因为椭圆的参数方程为 x=acost, y=bsint, 所以 解 椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍.  = a S ydx 0 于是 4 .  = a S ydx 0 4  = 0 2 4 sin ( cos )  b td a t 椭圆在第一象限部分的面积元素为ydx,  =− 0 2 2 4ab  sin tdt  = − 2 0 2 (1 cos2 )  ab t dt   = ab =ab 2 2 .  = a S ydx 0 4  = 0 2 4 sin ( cos )  b td a t  =− 0 2 2 4ab  sin tdt  = − 2 0 2 (1 cos2 )  ab t dt 下页

2.极坐标情形 曲边扇形 曲边扇形是由曲线00(的及射线=a,=B所围成的图形 曲边扇形的面积元素 ds=lorde =a( 曲边扇形的面积 S=Ip(ordo abode 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 •曲边扇形 •曲边扇形的面积元素 曲边扇形是由曲线=j()及射线=, =所围成的图形. •曲边扇形的面积 2.极坐标情形 dS j  d 2 [ ( )] 2 1 = .  =   S j  d 2 [ ( )] 2 1 . 下页

曲边扇形的面积:S=1o(=9O,a≤0s) 例4计算阿基米德螺线=a6(a>0)上相应于从0变到2x 的一段弧与极轴所围成的图形的面积 2 解S=门1(0p=1a2l3 312丌 0 例5计算心形线p=a(1+cosa>0)所 围成的图形的面积 p-a(1+cosB) 解S=2+0bp a2(1+2cos0+l 20)d0 a130+2sin 0+Isin 201=3a2T 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例4 计算阿基米德螺线=a (a>0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积. 解 解  =    2 0 2 ( ) 2 1 S a d 2 2 3 0 2 3 3 4 ] 3 1[ 2 1    解 = a = a .  =    2 0 2 ( ) 2 1 S a d 2 2 3 0 2 3 3 4 ] 3 1[ 2 1    解 = a = a .  =    2 0 2 ( ) 2 1 S a d 2 2 3 0 2 3 3 4 ] 3 1[ 2 1    = a = a . 例5 计算心形线=a(1+cos)(a>0)所 围成的图形的面积. 解 解  = +    0 2 [ (1 cos ] 2 1 S 2 a d  = + +     0 2 cos2 ) 2 1 2cos 2 1 a ( d      2 0 2 2 3 sin2 ] 4 1 2sin 2 3 =a [ + + = a . 首页 曲边扇形的面积：  =   S j  d 2 [ ( )] 2 1 ( =j(), )

二、体积 1.旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转 周而成的立体这直线叫做旋转轴 y=f(x x 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一 周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 下页 1.旋转体的体积

二、体积 1.旋转体的体积 旋转体都可以看作是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、a=b 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体 旋转体的体积元素 考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片, 用圆柱体的体积xf(x)]2dx作为切片体积的近似值, 于是体积元素为dV=nf(x)2dx 旋转体的体积 V=CrLf(x)Pax olla; xx+dxb 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 旋转体都可以看作是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、a=b 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体. 下页 二、体积 1.旋转体的体积 •旋转体的体积元素 考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片, 用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值, •旋转体的体积 于是体积元素为 dV=[f(x)]2dx. V f x dx b a 2 [ ( )]  =