《高等数学》课程教学资源：第三章 微分中值定理与导数的应用（3.2）洛必达法则

§3.2洛必达法则 °未定式 在函数商的极限中,如果分子和分母同是无穷小或 同是无穷大,那么极限可能存在,也可能不存在,这种极 限称为未定式,记为0或 0 还有其它类型的未定式:0.∞、∞-∞、00、1∞、0 未定式举例首页

§3.2 洛必达法则 还有其它类型的未定式 0、−、0 0 、1  、0  在函数商的极限中 如果分子和分母同是无穷小或 同是无穷大 那么极限可能存在 也可能不存在 这种极 0 0 －或   限称为未定式 记为 － 未定式举例 首页 上页 返回 下页 结束 铃 •未定式

今定理(洛必达法则) 如果函数f(x)和g(x)满足如下条件 (1)f(x)和g(x)都是当x-a时的无穷小(或无穷大); (2)f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)≠0; (3)mx)存在(或为无穷大) x→)a g(x) 那么1m(x) f(x x→a g(x) x> g(r) 说明: 把定理中的“x-xa”换成“x->∞”,把条件(2)换成 “当>N时八x)和g(x)都可导且g(x)≠03),结论仍然成立 明删首页页返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果函数f(x)和g(x)满足如下条件 (1) f(x)和g(x)都是当x→a时的无穷小(或无穷大) (2) f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0 定理证明 说明： 把定理中的“ x→a ”换成“ x→ ”  把条件(2)换成 “当|x|>N时f(x)和g(x)都可导且g(x)0” 结论仍然成立 ❖定理(洛必达法则) (3) ( ) ( ) lim g x f x x a   → 存在(或为无穷大) 那么 ( ) ( ) lim g x f x x→a ( ) ( ) lim g x f x x a   = →  下页

今零比零”型未定式的定值法 1求mxa.hx(a 例 (0·∞2型 x->0+0 imnx2lnx(0.型) r-)0+0 nx Im 一型) x→>0+0 li (用罗必达法则) x→>0+0·x lim x=0 C x→>0+0 例2求m3=3x+2 x-1x3-x2-x+ 解i x3-3x+2 lin (x3-3x+2) x→1x3-x2-x+1x1(x3-x2-x+1) 3x2-3 6x Im Im 3x2-2x-1x-16x-2 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖“零比零”型未定式的定值法 例1 解 例 例 2． 2 求 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x  解 ( 1) ( 3 2) lim 1 3 2 lim 3 2 3 1 3 2 3 1 − − +  − +  = − − + − + → → x x x x x x x x x x x x 2 3 6 2 6 lim 3 2 1 3 3 lim 1 2 2 1 = − = − − − = → → x x x x x x x  解 ( 1) ( 3 2) lim 1 3 2 lim 3 2 3 1 3 2 3 1 − − +  − +  = − − + − + → → x x x x x x x x x x x x 2 3 6 2 6 lim 3 2 1 3 3 lim 1 2 2 1 = − = − − − = → → x x x x x x x  2 3 6 2 6 lim 3 2 1 3 3 lim 1 2 2 1 = − = − − − = → → x x x x x x x  下页 求 lim ln ( ) ( 型) x x x → +    0 0 0 0   lim ln ( ) x x x → +   0 0 0  型 =  → +  lim ln ( ) x x x 0 0 1  型 = − → +  − lim ( ) x x x x 0 0 1 2 1    用罗必达法则 = − = → + 1 0  0 0  lim x x

今零比零”型未定式的定值法 例3求 lim d-sinx Af lim x-snx-lim I-cOSx-lim Snx x->0X x->03x2 06x6 arctan 例4求lim x-)+00 xX 项2 arctan 解lin lim +x x->+00 x→》+01+x X 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 解 例 例 3 3 求 3 0 sin lim x x x x − →  解 3 0 sin lim x x x x − → 2 0 3 1 cos lim x x x − = → x x x 6 sin lim →0 = 6 1 =  例 例 4 4 求 x x x 1 arctan 2 lim − →+   解 x x x 1 arctan 2 lim − →+  2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 1 1 lim 2 2 = + = →+ x x x  解 3 0 sin lim x x x x − → 2 0 3 1 cos lim x x x − = → x x x 6 sin lim →0 = 6 1 解 =  3 0 sin lim x x x x − → 2 0 3 1 cos lim x x x − = → x x x 6 sin lim →0 = 6 1 解 =  3 0 sin lim x x x x − → 2 0 3 1 cos lim x x x − = → x x x 6 sin lim →0 = 6 1 =  解 x x x 1 arctan 2 lim − →+  2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 1 1 lim 2 2 = + = →+ x x x  解 x x x 1 arctan 2 lim − →+  2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 1 1 lim 2 2 = + = →+ x x x  解 x x x 1 arctan 2 lim − →+  2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 1 1 lim 2 2 = + = →+ x x x  下页 ❖“零比零”型未定式的定值法

无穷比无穷”型未定式的定值法 例5求lm nx x→)+(2>0) 解lin Inx m lim 0 x→>+00Xn x->+∞0nxn-1 x→)+∞nxn 例6求imx(n为正整数,x>0) x-)+∞0 n 解linx lim nrn-l (n-1)xn2 x→)+0exx→>+e 2 lin 0 x→)+ e 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖“无穷比无穷”型未定式的定值法 解 解 例 例 5 5 求 n x x ln x lim →+ (n>0) 解 n x x ln x lim →+ 1 1 lim − →+ = n x nx x 0 1 = lim = →+ n x nx  例 例 6 6 求 x n x e x  →+ lim (n 为正整数 >0) 解 x n x e x  →+ lim x n x e nx   1 lim − →+ = x n x e n n x 2  2 ( 1) lim − →+ − = =    0 ! = lim = →+ n x x e n    解 n x x ln x lim →+ 1 1 lim − →+ = n x nx x 0 1 = lim = →+ n x nx 解  n x x ln x lim →+ 1 1 lim − →+ = n x nx x 0 1 = lim = →+ n x nx 解  n x x ln x lim →+ 1 1 lim − →+ = n x nx x 0 1 = lim = →+ n x nx  解 x n x e x  →+ lim x n x e nx   1 lim − →+ = x n x e n n x 2  2 ( 1) lim − →+ − 解 = =    x n x e x  →+ lim x n x e nx   1 lim − →+ = x n x e n n x 2  2 ( 1) lim − →+ − 解 = =    x n x e x  →+ lim x n x e nx   1 lim − →+ = x n x e n n x 2  2 ( 1) lim − →+ − = =    0 ! = lim = →+ n x x e n    下页

今其它类型未定式的定值法 未定式0∞、∞-∞、00、10、∞0都可以转化为“零 比零”型或“无穷比无穷”型未定式 例7求 lim xn Inx(n>0 解 lim xn In= lim nx= limx-=0 x->+0 x-)+0x-1x-+0-nx-m x-+0n 例8求 lim xx x->+0 解imxx= lim exine=e0=1(根据例7 x-+0 x->+0 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖其它类型未定式的定值法 未定式0、−、0 0 、1  、0都可以转化为 “零 比零” 型或 “无穷比无穷” 型未定式 解 解 例 例 7 7 求 x x n x lim ln →+0 (n>0) 解 x x n x lim ln →+0 n x x x − →+ = ln lim 0 1 0 1 lim − − →+ − = n x nx x lim 0 0 = − = →+ n x n x 解 x x  n x lim ln →+0 n x x x − →+ = ln lim 0 1 0 1 lim − − →+ − = n x nx x lim 0 0 = − = →+ n x n x 解 x x  n x lim ln →+0 n x x x − →+ = ln lim 0 1 0 1 lim − − →+ − = n x nx x lim 0 0 = − = →+ n x n x 解 x x  n x lim ln →+0 n x x x − →+ = ln lim 0 1 0 1 lim − − →+ − = n x nx x lim 0 0 = − = →+ n x n x 解 x x  n x lim ln →+0 n x x x − →+ = ln lim 0 1 0 1 lim − − →+ − = n x nx x lim 0 0 = − = →+ n x n x  例 例 8 8 求 x x x 0 lim →+  解 x x x 0 lim →+ lim ln 0 1 0 = = = →+ e e x x x 解 (根据例 7) x x x 0 lim →+ lim ln 0 1 0 = = = →+ e e x x x 解 (根据例 7) x x x 0 lim →+ lim ln 0 1 0 = = = →+ e e x x x (根据例 7) 下页

今其它类型未定式的定值法 未定式0∞、∞-∞、00、10、∞0都可以转化为“零 比零”型或“无穷比无穷”型未定式 例9求lm(sex-tanx) x→ 2 Hf lim(secx-tan x)=lim -snx= lim -cOSx=0 x→zC0Sxx->zSix 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例 例 9 9 求 lim (sec tan ) 2 x x x − →  解 lim (sec tan ) 2 x x x − →  x x x cos 1 sin lim 2 − = →  0 sin cos lim 2 = − = → x x x   未定式0、−、0 0 、1  、0都可以转化为 “零 比零” 型或 “无穷比无穷” 型未定式 解 lim (sec tan ) 2 x x x − →  x x x cos 1 sin lim 2 − = →  0 sin cos lim 2 = − = → x x x  解 lim (sec tan )  2 x x x − →  x x x cos 1 sin lim 2 − = →  0 sin cos lim 2 = − = → x x x  解 lim (sec tan )  2 x x x − →  x x x cos 1 sin lim 2 − = →  0 sin cos lim 2 = − = → x x x   下页 ❖其它类型未定式的定值法

应注意的问题 1.洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但最好 能与其它求极限的方法结合使用.例如能化简时应尽可 能先化简,可以应用等价无穷小替代或重要极限时,应尽 可能应用,这样可以使运算简捷. 例10求lim tanx-x x-0x-sinx x→>0x2snxx)073边 解lin tanx-x tanx sec-x -Im x-03x = lim 2sec2xtanx 1 lim sec2 x tanx 6x 3x->0 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 1 洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但最好 能与其它求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可 能先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时 应尽 可能应用 这样可以使运算简捷 •应注意的问题 解 例 例 10 10 求 x x x x x sin tan lim 2 0 − →  解 x x x x x sin tan lim 2 0 − → 3 0 tan lim x x x x − = → 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → x x x x 6 2sec tan lim 2 →0 = 3 tan 1 limsec 3 1 2 0 =  = → x x x x  解 x x x x x sin tan lim 2 0 − → 3 0 tan lim x x x x − = → 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → 解 x x x x x sin tan lim 2 0 − → 3 0 tan lim x x x x − = → 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → x x x x 6 2sec tan lim 2 →0 = 3 tan 1 limsec 3 1 2 0 =  = → x x x x  x x x x 6 2sec tan lim 2 →0 = 3 tan 1 limsec 3 1 2 0 =  = → x x x x  下页

应注意的问题 2.本节定理给出的是求未定式的一种方法.当定理 条件满足时,所求的极限当然存在(或为∞),但定理条件 不满足时,所求极限却不一定不存在 例11求limx+Smnx x-)+00 解因为极限m(x+sinx=m、1+cosx不存在, 所以不能用洛必达法则.但其极限是存在的: lim xtsnx= lim(1+5n) x→)+00 X x→)+00 X 页返回 下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 本节定理给出的是求未定式的一种方法 当定理 条件满足时 所求的极限当然存在(或为) 但定理条件 不满足时 所求极限却不一定不存在 所以不能用洛必达法则 但其极限是存在的 解 例 例 11 11 求 x x x x sin lim + →+  解 因为极限 ( ) ( sin ) lim  +  →+ x x x x 1 1 cos lim x x + = →+ 不存在 x x x x sin lim + →+ ) 1 sin = lim (1+ = →+ x x x  解 因为极限 ( ) ( sin ) lim  +  →+ x x x x 1 1 cos lim x x + = →+ 解 因为极限 不存在 ( ) ( sin ) lim  +  →+ x x x x 1 1 cos lim x x + = →+ 不存在 x x x x sin lim + →+ ) 1 sin = lim (1+ = →+ x x x  x x x x sin lim + →+ ) 1 sin = lim (1+ = →+ x x x  结束 •应注意的问题