《高等数学》课程教学资源：第一章 函数与极限（1.6）极限存在准则两个重要极限

§1.6极限存在准则两个重要极限 、准则I及第一个重要极限 二、准则Ⅱ及第二个重要极限 自贝

一、准则I及第一个重要极限 二、准则II及第二个重要极限 §1.6 极限存在准则 两个重要极限 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、准则I及第一个重要极限 今准则I 如果数列{xn}、{n}及{n}满足下列条件: (1)ynxn≤n(n2=1,2,3,…·) (2) lim yn=a n→00 n→)0 那么数列{xn}的极限存在,且 lim x=a.>> n→)00 今准则I 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件: (1)g(x)≤f(x)≤h(x) (2)lim g(x)=A, lim h(x)=A 那么imf(x)存在,且 lim f(x)=A 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、准则I及第一个重要极限 如果数列{xn }、{yn }及{zn }满足下列条件 (1)ynxnzn (n=1 2 3    ) ❖准则 I ❖准则I 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A (2) yn a n = → lim  zn a n = → lim  下页 那么数列{xn }的极限存在 且 xn a n = → lim  >>>

今第一个重要极限 lim sinx x->0x 简要证明参看附图,设圆心角∠AOB=x(00 根据准则I, lim 3w x->0x 页返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖第一个重要极限 显然 BC AB AD ( 因此 sin x x  tan x  D B 1 O C A x 1 sin lim 0 = → x x x  简要证明 参看附图 设圆心角AOB=x ( 2 0   x ) 从而 1 sin cos   x x x (此不等式当 x0 时也成立) 因为lim cos 1 0 = → x x  根据准则 I  1 sin lim 0 = → x x x  下页

今第一个重要极限 lim sinx x->0x 在极限hmsa(中,只要a(x)是无穷小,就有 lim Sina(r) 这是因为,令=a(x),则v->0,于是 lim sina(r) -lim snu=1 a(x) u-0 u 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 注: 这是因为 令u=a(x) 则u→0 于是 在极限 ( ) sin ( ) lim x x a a 中 只要a(x)是无穷小 就有 1 ( ) sin ( ) lim = x x a a  ( ) sin ( ) lim x x a a 1 sin lim 0 = = → u u u  下页 ❖第一个重要极限 1 sin lim 0 = → x x x 

lim sInx 1 lim sina(x (a(x)->0 x->0x 例1求lim tanx x-)0x r+ im tanx=lim Sinx 1 解1 lim Sinx.lim >0x x-0 x COSX x-0 x x-o coSx 例2求lim COSX x->0x 2Sm22 解 COSX m x->0x x->0x 2 2x-0x )2 SInA\2 = -lim 2 x->0 X 2 自贝 上页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 0 1 cos lim x x x − → = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x→ x→ = 1 sin lim 0 = → x x x  1 ( ) sin ( ) lim = x x a a (a(x)→0) 例 例 11 求 x x x tan lim →0  解 x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 =  → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 =  = → x → x x x x 解 解   x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 =  → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 =  = → x → x x x x 解  x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 =  → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 =  = → x → x x x x 解  x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 =  → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 =  = → x → x x x x  解 例 例 22 求 2 0 1 cos lim x x x − →  首页 2 1 1 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2 0 =  =         = → x x x  2 1 1 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2 0 =  =         = → x x x  2 0 1 cos lim x x x − → = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x→ x→ = 2 0 1 cos lim x x x − → = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x→ x→ =

二、准则Ⅱ及第二个重要极限 今准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 提问: 收敛的数列是否一定有界? 有界的数列是否一定收敛? 注 如果x≤xn+1,n∈N,就称数列{xn}是单调增加的 如果x≥xn+1,n∈N,就称数列{xn}是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列 首页页返回页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、准则II及第二个重要极限 注: 如果xnxn+1  nN+  就称数列{xn }是单调增加的 如果xnxn+1  nN+  就称数列{xn }是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列 下页 ❖准则II 单调有界数列必有极限 提问: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？

二、准则Ⅱ及第二个重要极限 今准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 °准则Ⅱ的几何解释 以单调增加数列为例,数列的点只可能向右一个方向移 动,或者无限向右移动,或者无限趋近于某一定点A,而对有界 数列只可能后者情况发生 x1 x2x3 x455 页返回 下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 M 二、准则II及第二个重要极限 ❖准则II 单调有界数列必有极限 •准则II的几何解释 x1 x2x3 x4x5 xn A 以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移 动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界 数列只可能后者情况发生

二、准则Ⅱ及第二个重要极限 今准则Ⅲ 单调有界数列必有极限 第二个重要极限 设x2=(1+-y,可以证明(1)x2xn,neN+,(2)xn 根据准则Ⅱ,数列{xn}必有极限,此极限用e来表示,即 lim(1+-) n→00 e是个无理数,它的值是 e=2.718281828459045 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 根据准则II 数列{xn }必有极限 此极限用e来表示 即 ❖第二个重要极限 e是个无理数 它的值是 e=2 718281828459045    e n n n + = → ) 1 lim (1  下页 二、准则II及第二个重要极限 ❖准则II 单调有界数列必有极限 可以证明 (2)x (1)x n3 nxn+1  nN+ 设 n >>> >>> n n x ) 1 =(1+ 

二、准则Ⅱ及第二个重要极限 今准则Ⅲ 单调有界数列必有极限 第二个重要极限 设x2=(1+-y,可以证明(1)x2xn,neN+,(2)xn<3 根据准则Ⅱ,数列{xn}必有极限,此极限用e来表示,即 im(1+-)y n→ 我们还可以证明 (1+-)x=e 这就是第二个重要极限 上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖第二个重要极限 二、准则II及第二个重要极限 ❖准则II 单调有界数列必有极限 e x x x + = → ) 1 lim (1  我们还可以证明 这就是第二个重要极限 根据准则II 数列{xn }必有极限 此极限用e来表示 即 e n n n + = → ) 1 lim (1  可以证明 (2)x (1)x n3 nxn+1  nN+ 设 n  n n x ) 1 =(1+ 

二、准则Ⅱ及第二个重要极限 今准则Ⅲ 单调有界数列必有极限 今第二个重要极限 in(1+-)x=e x→0 X 注 在极限imn[1+a(x)](x)中,只要a(x)是无穷小,就有 lim[1+a(x)la()=e>>> 首页页返回页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖第二个重要极限 二、准则II及第二个重要极限 ❖准则II 单调有界数列必有极限 e x x x + = → ) 1 lim (1  注: 在极限 ( ) 1 lim[1 ( ) ] x x +a a 中 只要a(x)是无穷小 就有 x e + (x) = 1 lim[1 ( )] a a  >>>