《高等数学》课程教学资源：第七章 空间解析几何（7.2）数量积向量积

§7.2数量积向量积 、两向量的数量积 二、两向量的向量积 自

二、两向量的向量积 一、两向量的数量积 §7.2 数量积 向量积 首页 上页 返回 下页 结束 铃

两向量的数量积 数量积的物理背景 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M,以s 表示位移 由物理学知道,力F所作的功为 W=FIscos 6 其中0为F与s的夹角 S M2 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、两向量的数量积 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2 . 以s 表示位移. •数量积的物理背景 由物理学知道, 力F所作的功为 W=|F||s|cos , 其中 为F与s的夹角. 下页

、两向量的数量积 ☆数量积的定义 对于两个向量a和b,它们的模a、b及它们的夹角O的余 弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即 ab=a|bcos日 M,F cos M 根据数量积,力F所作的功W就是力F与位移s的数量积 W=FS 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余 弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即 a·b=|a||b|cos . ❖数量积的定义 根据数量积, 力F所作的功W就是力F与位移s的数量积, 即 W=Fs . 下页 一、两向量的数量积

、两向量的数量积 ☆数量积的定义 对于两个向量a和b,它们的模a、b及它们的夹角O的余 弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即 ab=a|bcos日 数量积与投影 由于 cos b cos(a,b),所以, 当a≠0时,bcos(a,b)是向量b在向量a 的方向上的投影,于是 6 a b=a Prob 同理,当b≠0时,ab=bPba 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 •数量积与投影 由于|b|cos=|b|cos(a, ^ b), 下页 当a0时, |b|cos(a, ^ b)是向量b在向量a 的方向上的投影, 于是 a·b=|a|Prja b. 同理, 当b0时, a·b=|b|Prjb a. 所以, 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余 弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即 a·b=|a||b|cos . ❖数量积的定义 一、两向量的数量积

、两向量的数量积 ☆数量积的定义 对于两个向量a和b,它们的模a、b及它们的夹角O的余 弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即 ab=a|bcos日 数量积的性质 (1a a=ap (2)对于两个非零向量a、b,如果ab=0,则a⊥b; 反之,如果a⊥b,则ab=0 如果认为零向量与任何向量都垂直,则 a⊥b<→ab=0 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖数量积的性质 (1) a·a=|a| 2 . (2) 对于两个非零向量 a、b, 如果 a·b=0, 则 a⊥b; 反之, 如果a⊥b,则a·b=0. 如果认为零向量与任何向量都垂直, 则 a⊥ba·b=0. 下页 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余 弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即 a·b=|a||b|cos . ❖数量积的定义 一、两向量的数量积

、两向量的数量积 ☆数量积的定义 对于两个向量a和b,它们的模a、b及它们的夹角O的余 弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即 ab=a|bcos日 数量积的运算律 (1)交换律:ab=b; (2)分配律:(a+b)c=ac+bc> (3)(a)b=a(b)=(b) (a)(b)=(b) 其中λ、为数 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖数量积的运算律 (1)交换律: a·b=b·a; (2)分配律: (a+b)·c=a·c+b·c. 下页 >>> (3)(a)·b=a·(b)=(a·b), (a)·(b)=(a·b), 其中、为数. 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余 弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即 a·b=|a||b|cos . ❖数量积的定义 一、两向量的数量积

例1试用向量证明三角形的余弦定理. 证明在△ABC中,∠BCA=B,CB=a,CA=b,B=c, 要证c2=a2+b2-2 abcs0 记CB=a,CA=b,AB=C, 则有c=a-b 从而cP=cc=(a-b)(a-b) =a.a+b·b-2a·b B a+b2-2ab cos(a,b), C2=02+62-2abcos e 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 试用向量证明三角形的余弦定理. 要证c 2=a 2+b 2-2abcos . 则有 c=a-b, 从而 |c| 2=cc=(a-b)(a-b) =aa+bb-2ab =|a| 2+|b| 2-2|a||b|cos(a, ^ b), 即 c 2=a 2+b 2-2abcos. 证明 在DABC中, ∠BCA=, |CB|=a, |CA|=b, |AB|=c, 下页 记 → CB =a, → CA =b, → AB =c, 则有

数量积的坐标表示 设a=(ax2a,a2),b=(b,b,b),则ab=ab2+a1b,+ab a=a,++a_k, b=b,i+bj+bk a:b=(a计+a1j+ak)(bi+b计+bk) =a2b计+a2b计+a2bik +a,bj计+abj+a1bjk +a-b.+a b,k;j+a, b_ k =a、b+a.b+aLb. 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： ❖数量积的坐标表示 下页 a=ax i+ay j+az k, b=bx i+by j+bz k, a·b=(ax i+ay j+az k)·(bx i+by j+bz k) =ax bx i·i+ax by i·j+ax bz i·k +ay bx j·i+ay by j·j+ay bz j·k +az bx k·i+az by k·j+az bz k·k =ax bx+ay by+az bz . a·b=ax bx+ay by+az bz 设a=(a . x , ay , az ), b=(bx , by , bz ), 则

数量积的坐标表示 设a=(ax2a,a2),a=(b,b,b),则ab=ab2+a1b,+ab ☆向量夹角余弦的坐标表示 设(a,b),则当a≠0、b≠0时,有 COSb=m·b a.b.+ab+a.b b +a2+a2b2+b2+b 提示 ab=acos e 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖数量积的坐标表示 a·b=ax bx+ay by+az bz 设a=(a . x , ay , az ), a=(bx , by , bz ), 则 设=(a, ^ b), 则当a0、b0时, 有 ❖向量夹角余弦的坐标表示 提示: a ·b=|a||b|cos . | || | 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + =  = a b a b  . | || | 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + =  = a b a b 

例2已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求∠AMB 解从M倒到A的向量记为a,从M到B的向量记为b,则∠AMB 就是向量a与b的夹角 B a=(2,2,1)-(1,1,1)=(1,1,0), b=(2,1,2)-(1,1,1)=(1,0,1) 因为b=1×1+1×0+0×1=1, a=√12+12+02=√2, b=√12+02+12=√2, 所以 Cos∠AMB=ab1 a|b2.√22 从而AMB= 3 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 已知三点M(1, 1, 1)、A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB. 从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 则AMB 就是向量a与b的夹角. 下页 | | 1 1 0 2 2 2 2 a = + + = , | | 1 0 1 2 2 2 2 b = + + = , 所以 2 1 2 2 1 | || | cos =  =   = a b a b AMB . 从而 3  AMB= . 因为 ab=11+10+01=1, b =(2, 1, 2)-(1, 1, 1) a =(2, 2, 1)-(1, 1, 1)=(1, 1, 0), =(1, 0, 1). 解