《高等数学》课程教学资源：第一章 函数与极限（1.10）闭区间上连续函数的性质

§1.10闭区间上连续函数的性质 、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 贝 页 结束

一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 §1.10 闭区间上连续函数的性质 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、有界性与最大值最小值定理 今最大值与最小值 对于在区间上有定义的函数(x),如果有x0∈l,使得对于 任一x∈/都有 fx)≤(x0)((x)f(x0), 则称(x)是函数x)在区间/上的最大值(最小值 最大值与最小值举例 函数fx)=1+sinx在区间 [0,2上有最大值2和最小 v=l+sinx 值0 2丌 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、有界性与最大值最小值定理 ❖最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有 f(x)f(x0 ) (f(x)f(x0 )) 则称f(x0 )是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值) 最大值与最小值举例: 函数 f(x)=1+sinx在区间 [0 2p]上有最大值 2 和最小 值 0  下页

、有界性与最大值最小值定理 今最大值与最小值 对于在区间上有定义的函数(x),如果有x0∈l,使得对于 任一x∈/都有 fx)≤(x0)((x)f(x0), 则称(x)是函数x)在区间/上的最大值(最小值 最大值与最小值举例 函数y=sgnx在区间(-∞,+∞) v=sgx 1 内有最大值1和最小值-1.但在开 区间(0,+∞)内,它的最大值和最小 值都是1 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 函数y=sgn x 在区间(- +) 内有最大值1和最小值-1 但在开 区间(0 +)内 它的最大值和最小 值都是1 下页 最大值与最小值举例: 一、有界性与最大值最小值定理 ❖最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有 f(x)f(x0 ) (f(x)f(x0 )) 则称f(x0 )是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)

、有界性与最大值最小值定理 今最大值与最小值 对于在区间上有定义的函数(x),如果有x0∈l,使得对于 任一x∈/都有 fx)≤(x0)((x)f(x0), 则称(x)是函数x)在区间/上的最大值(最小值 应注意的问题 并非任何函数都有最大值和 最小值 例如,函数(x)=x在开区间 (a,b)内既无最大值又无最小值 页返回 页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 并非任何函数都有最大值和 最小值 例如，函数f(x)=x在开区间 (a b)内既无最大值又无最小值 应注意的问题: 下页 一、有界性与最大值最小值定理 ❖最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有 f(x)f(x0 ) (f(x)f(x0 )) 则称f(x0 )是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)

今定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值 y=f() f(5i) f(2) 5I b 说明: 定理说明,如果函数fx)在闭区间[a,b上连续,那么 至少有一点51∈[a,b],使5是x)在[a,b上的最大值 又至少有一点2∈[a,b,使2)是(x)在a,b]上的最小值 首页 上页返回 页 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明: ❖定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值 下页 又至少有一点x2[a b] 使f(x2 )是f(x)在[a b]上的最小值 至少有一点x1[a b] 使f(x1 )是f(x)在[a b]上的最大值 定理说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么

今定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值 应注意的问题 如果函数仅在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断 点,那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 例如,函数(x)=x在开区间(a,b) 内既无最大值又无最小值 页返回 页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 应注意的问题: 如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 例如 函数f(x)=x在开区间(a b) 内既无最大值又无最小值 下页 ❖定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值

今定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值 应注意的问题 如果函数仅在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断 点,那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 又如,如下函数在闭区间[0,2] 内既无最大值又无最小值 1=f(x) x+1 <x<1 y=f(x)=11 0x x+31<x<2 页返回 页 结束 铃

首页 上页 返回 下页下页 结束 铃 又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值     - +   = - +   = = 3 1 2 1 1 1 0 1 ( ) x x x x x y f x  应注意的问题: 如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 ❖定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值

今定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明设函数(x)在闭区间[a,b]上连续 根据定理1,存在f(x)在区间[a,b上的最大值M和最小值 ,使任 x∈a b满足 m:(x)≤M 上式表明,f(x)在[a,b]上有上界M和下界m,因此函数(x)在 [a,b上有界 贝 返回 下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 根据定理1 存在f(x)在区间[a b]上的最大值M和最小值 m 使任一x[a b]满足 mf(x)M 上式表明 f(x)在[a b]上有上界M和下界m 因此函数f(x)在 [a b]上有界 首页 ❖定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值

二、零点定理与介值定理 今定理3(零点定理) 设函数八x)在闭区间[a,b上连续,且f(a)与(b)异号,那么 在开区间(a,b)内至少一点,使(=0 f(x) 注 如果x使fxo)=0,则x称为函数(x)的零点 首页上页返回页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、零点定理与介值定理 注: 如果x0使f(x0 )=0 则x0称为函数f(x)的零点 下页 ❖定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么 在开区间(a b)内至少一点x使f(x)=0

二、零点定理与介值定理 今定理3(零点定理) 设函数八x)在闭区间[a,b上连续,且f(a)与(b)异号,那么 在开区间(a,b)内至少一点,使(=0 例1证明方程x34x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个根 证明设fx)=x3-4x2+1,则f(x)在闭区间[0,1]上连续, 并且 f(0)=1>0,f(1)=2<0 根据零点定理,在(0,1)内至少有一点,使得f(2)=0, 23-452+1=0 这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个根是5 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 证明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根 证明 设 f(x)=x 3-4x 2+1则f(x)在闭区间[0 1]上连续 并且 f(0)=1>0 f(1)=-2<0 根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x  使得 f(x)=0 即 x 3-4x 2+1=0  这说明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根是x  下页 二、零点定理与介值定理 ❖定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么 在开区间(a b)内至少一点x使f(x)=0