《高等数学》课程教学资源：第五章 定积分（5.4）反常积分

§5.4反常积分 、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分 自

一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分 §5.4 反常积分 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、无穷限的反常积分 今无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a,+∞)上的反常积分定义为 nf(x)dx=lm「f(x)x b→+∞a 在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常 积分收敛,否则称此反常积分发散 类似地,连续函数f(x)在区间(-∞,b上和在区间(-∞,+∞) 的反常积分定义为 n f()dx= lim f(x)dx C+OO f(x)dx= lim f(x)dx+ lim of(x)dx b 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 f x dx f x dx b a b a ( ) lim ( )   →+ + =  一、无穷限的反常积分 ❖无穷限的反常积分的定义 在反常积分的定义式中, 如果极限是存在的, 则称此反常 积分收敛, 否则称此反常积分发散 连续函数f(x)在区间[a, +)上的反常积分定义为 下页 类似地, 连续函数f(x)在区间(−, b]上和在区间(−, +) 的反常积分定义为 f x dx f x dx f x dx b b a a ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0    →− →+ + − = +  f x dx f x dx b a a b ( ) lim ( )   − →− = 

、无穷限的反常积分 今无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a,+∞)上的反常积分定义为 nf(x)dx=lm「f(x)x b→+0 反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数,则有 f(x)dx=lim f(x)dx= lim [F(x)6 b-)+ b-+00 lim F(6)-F(a=lim F(x)-F(a) b-+0 可采用如下简记形式: f(x)dx=[F(x)Id=lim F(x)-F(ay x→)+ 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 f x dx f x dx b a b a ( ) lim ( )   →+ + =  一、无穷限的反常积分 ❖无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a, +)上的反常积分定义为 •反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数, 则有 f (x)dx [F(x) ] lim F(x) F(a) x a a = = − →+ + +   b a b b a b a f (x)dx lim f (x)dx lim [F(x)] →+ →+ + = =   lim F(b) F(a) lim F(x) F(a) b x = − = − →+ →+  可采用如下简记形式： b a b b a b a f (x)dx lim f (x)dx lim [F(x)] →+ →+ + = =   lim F(b) F(a) lim F(x) F(a) b x = − = − →+ →+ 

、无穷限的反常积分 今无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a,+∞)上的反常积分定义为 nf(x)dx=lm「f(x)x b→+0 反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数,则有 f(x)dx=lF(xl= lim F(x)-F(a x→)+ 类似地,有 f(x)dx=[F(x)]o=F(b)-lim F(x) x→-00 Imf(xdx=[F(x)J+=lim F(x)-lim F(x) 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 f x dx f x dx b a b a ( ) lim ( )   →+ + =  一、无穷限的反常积分 ❖无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间[a, +)上的反常积分定义为 •反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数, 则有 f (x)dx [F(x)] lim F(x) F(a) x a a = = − →+ + +   类似地, 有 f (x)dx [F(x)] F(b) lim F(x) x b b →− − = − = −  , f (x)dx [F(x) ] lim F(x) lim F(x) x→+ x→− + − + − = = −   下页

注解 1、无穷限的广义积分实质上是任意有限区间上定积分之极限 2.∫()x收敛等价于 fx)d与jf()k 同时收敛,即 了(x)dx= lim Iim I()kx 这里的a、b是任意的,不可仅考虑极端情况a=-b 因此,如果lmj(x有在,并不能断言T/(x)d收皱 ∫ f(x)dx=F(xloo= lim F(x)lim F(x) x→>+00 x→-00 例1计算反常积分1d 解「1=a arctan ∞1+x lim arctan- lim arctanx y=,1 1+x x→)+00 x→-00 O b x 返回 页结東

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例 1 计算反常积分 dx x 2 1 1 +  + − 例1  下页 f (x)dx [F(x) ] lim F(x) lim F(x) x→+ x→− + − + − = = −      = − − )= 2 ( 2  解 + − + − = +  [arctan ] 1 1 2 dx x x x x x x lim arctan lim arctan →+ →− = − 解 + − + − = +  [arctan ] 1 1 2 dx x x

If(x)dx=[F(x)lt=lim F(x)-F(a) 例2计算反常积分0eb(p是常数,且p>0) [-te-pt+epd +∞ =[--te-p e pl+ lim -te pl- 2e pr t→>+∞P 小 im te t→)+o t→>+o已 t→>+pe 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 − − +  = − + 0 ] 1 1 [ e dt p te p pt pt 解 − + − + + −    = 0 = − 0 0 ] 1 [ ] [ pt pt pt tde p te dt te dt 提示： 例 2 计算反常积分 te dt − p t + 0 例2 (p 是常数, 且 p>0) 下页 f (x)dx [F(x) ] lim F(x) F(a) x a a = = − →+ + +   − − + = − − 2 0 ] 1 1 [ pt pt e p te p 2 2 2 1 1 ] 1 1 lim [ p p e p te p pt pt t = − − + = − − →+  解 2 2 2 1 1 ] 1 1 lim [ p p e p te p pt pt t = − − + = − − →+  0 1 lim = lim = lim = →+ →+ − →+ pt t pt t pt t e pe t te 0  1 lim = lim = lim = →+ →+ − →+ pt t pt t pt t e pe t te 0  1 lim = lim = lim = →+ →+ − →+ pt t pt t pt t e pe t te  解 − + − + + −    = 0 = − 0 0 ] 1 [ ] [ pt pt pt tde p 解 te dt te dt − + − + + −    = 0 = − 0 0 ] 1 [ ] [ pt pt pt tde p te dt te dt

If(x)dx=[F(x)lt=lim F(x)-F(a) 例3讨论反常积分1(x0的敛散性 解当p=1时,「=1d=nx]=+ 当p1时, P dx=xP 因此,当p>1时,此反常积分收敛,其值为; 当p≤1时,此反常积分发散 自 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例 3 讨论反常积分 dx x a p 1  + 例3 (a>0)的敛散性 解 当 p=1 时, = = + =+ + +   [ln ] 1 1 a a p a dx x x dx x 解 当 p=1 时, = = =+  + + +   [ln ] 1 1 a a p a dx x x dx x  当 p1 时, 1 ] 1 1 [ 1 1 1 − = − = − − + +  p a x p dx x p a p a p  当p1时, 此反常积分发散 解 当 p=1 时, = = + =+ + +   [ln ] 1 1 a a p a dx x x dx x 解 当 p=1 时, = = =+  + + +   [ln ] 1 1 a a p a dx x x dx x  当 p1 时, 1 ] 1 1 [ 1 1 1 − = − = − − + +  p a x p dx x p a p a p 当 p>1 时,  1 ] 1 1 [ 1 1 1 − = − = − − + +  p a x p dx x p a p a p 当 p>1 时,  1 ] 1 1 [ 1 1 1 − = − = − − + +  p a x p dx x p a p a p  因此, 当 p>1 时, 此反常积分收敛, 其值为 1 1 − − p a p  首页 f (x)dx [F(x) ] lim F(x) F(a) x a a = = − →+ + +  

无界函数的反常积分 今无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点函数fx) 在(a,b]上的反常积分定义为 C(x)dx=lim f(x)dx t→>a 在反常积分的定义式中,如果极限是存在的,则称此反常 积分收敛;否则称此反常积分发散 注 如果函数x)在点x的任一邻域内都无界,那么点x称为 函数(x)的瑕点(也称为无界间断点) 无界函数的反常积分又称为瑕积分 首贡页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、无界函数的反常积分 注： 如果函数f(x)在点x0的任一邻域内都无界, 那么点x0称为 函数f(x)的瑕点(也称为无界间断点) 无界函数的反常积分又称为瑕积分 ❖无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x) 在(a, b]上的反常积分定义为  +  → = b t t a b a f (x)dx lim f (x)dx  下页 在反常积分的定义式中, 如果极限是存在的, 则称此反常 积分收敛 否则称此反常积分发散

无界函数的反常积分 今无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点函数fx) 在(a,b]上的反常积分定义为 C/()dx=lim f(x)dx t→)a 类似地,函数(x)在[a,b)上(b为瑕点)的反常积分定义为 b f(x)dx= limf(x)dx t→>b 函数f(x)在[a,c(c,b]上(c为瑕点)的反常积分定义为 Cf(x)dx=lim I'f(xdx+lim, f(xdx t→)C 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 函数f(x)在[a, c)(c, b]上(c为瑕点)的反常积分定义为 二、无界函数的反常积分 类似地, 函数f(x)在[a, b)上(b为瑕点)的反常积分定义为 f x dx f x dx t a t b b a ( ) lim ( )  −  → =   −  +  → → = + b t t c t a t c b a f (x)dx lim f (x)dx lim f (x)dx  下页 ❖无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x) 在(a, b]上的反常积分定义为  +  → = b t t a b a f (x)dx lim f (x)dx 

无界函数的反常积分 今无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点函数fx) 在(a,b]上的反常积分定义为 f(x)dx= lim l f(x)dx 反常积分的计算 如果F(x)为x)的原函数,则(x)在(a,b]上的反常积分为 CA()dx= lim r f(x)dx=lim [F(x)1 t→>a F(b)-lim F(t=F(b)-lim F(x) x→a 可来用简记形式:f(x)x=[F(x=F(b)-lmF(x) x→)a 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、无界函数的反常积分 ❖无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x) 在(a, b]上的反常积分定义为  +  → = b t t a b a f (x)dx lim f (x)dx  •反常积分的计算 如果F(x)为f(x)的原函数, b t t a b t t a b a f (x)dx lim f (x)dx lim [F(x)] → + → + = =   F(b) lim F(t) F(b) lim F(x) t a x a → + → + = − = −  f (x)dx [F(x)] F(b) lim F(x) x a b a b a → + = = −  可采用简记形式  b t t a b t t a b a f (x)dx lim f (x)dx lim [F(x)] → + → + = =   F(b) lim F(t) F(b) lim F(x) t a x a → + → + = − = −  则f(x)在(a, b]上的反常积分为 下页