《高等数学》课程教学资源：第一章 函数与极限（1.4）无穷小与无穷大

§1.4无穷小与无穷大 一、无穷小 二、无穷大 自贝

一、无穷小 二、无穷大 §1.4 无穷小与无穷大 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、无穷小 今无穷小的定义 如果函数(x)当x→>x0(或x>∞)时的极限为零,那么称 函数(x)为当x→>x0(或x>∞)时的无穷小 讨论: 很小很小的数是否是无穷小?0是否为无穷小? 提示 无穷小是这样的函数,在x>x0(或x>∞)的过程中,极 限为零.很小很小的数,作为常数函数在自变量的任何变 化过程中,其极限就是这个常数本身 上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、无穷小 如果函数f(x)当x→x0 (或x→)时的极限为零 那么称 函数f(x)为当x→x0 (或x→)时的无穷小 ❖无穷小的定义 下页 讨论 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？ 提示 无穷小是这样的函数 在x→x0 (或x→)的过程中 极 限为零 很小很小的数 作为常数函数在自变量的任何变 化过程中 其极限就是这个常数本身

、无穷小 今无穷小的定义 如果函数(x)当x>x0(或x->∞)时的极限为零,那么称 函数(x)为当x→>x0(或x>∞)时的无穷小 例1因为im=0,所以函数一为当x>o时的无穷小 x 因为imn(x-1)=0,所以函数为x-1当x-)1时的无穷小 x→)1 因为lmn1=0,所以数列1)为当n→2时的无穷小 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、无穷小 例1 下页 因为 0 1 lim = x→ x  所以函数 x 1 为当 x→时的无穷小 因为lim( 1) 0 1 − = → x x  所以函数为 x−1 当 x→1 时的无穷小 因为 0 1 1 lim = n→ n+  所以数列{ 1 1 n+ }为当 n→时的无穷小 因为 0 1 lim = x→ x  所以函数 x 1 为当 x→时的无穷小 因为lim( 1) 0 1 − = → x x  所以函数为 x−1 当 x→1 时的无穷小 因为 0 1 1 lim = n→ n+  所以数列{ 1 1 n+ }为当 n→时的无穷小 如果函数f(x)当x→x0 (或x→)时的极限为零 那么称 函数f(x)为当x→x0 (或x→)时的无穷小 ❖无穷小的定义

、无穷小 今无穷小的定义 如果函数(x)当x→>x0(或x>∞)时的极限为零,那么称 函数(x)为当x->x(或x->∞)时的无穷小 今定理1(无穷小与函数极限的关系) 在自变量的同一变化过程xx或x→>∞)中,函数(x) 具有极限A的充分必要条件是x)=4+a,其中a是无穷小 例如,因为 1+x +,而i =0 2x322x 2 所以m2x=2 元理证明首页 上页返回 下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、无穷小 如果函数f(x)当x→x0 (或x→)时的极限为零 那么称 函数f(x)为当x→x0 (或x→)时的无穷小 ❖无穷小的定义 在自变量的同一变化过程x→x0 (或x→)中 函数f(x) 具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+a 其中a是无穷小 ❖定理1(无穷小与函数极限的关系) 定理1证明 例如 因为 3 3 3 2 1 2 1 2 1 x x x = + +  而 0 2 1 lim 3 = x→ x  所以 2 1 2 1 lim 3 3 = + → x x x  例如 因为 3 3 3 2 1 2 1 2 1 x x x = + +  而 0 2 1 lim 3 = x→ x 例如 因为  3 3 3 2 1 2 1 2 1 x x x = + +  而 0 2 1 lim 3 = x→ x 

无穷大 今无穷大的定义 如果当x>x0(或x→>∞)时,对应的函数值的绝对值(x) 无限增大,那么称函数f(x)为x>x0(或x>∞)时的无穷大, 记为 imf(x)=∞(或imf(x)=∞) x→)x x→00 说明 当x)x或x→>O)时为无穷大的函数(x),按函数极限 定义来说,极限是不存在的.但为了便于叙述函数的这 性态,我们也说“函数的极限是无穷大” 首页 上页返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明: 二、 无穷大 如果当x→x0 (或x→)时 对应的函数值的绝对值|f(x)| 无限增大 那么称函数f(x)为x→x0 (或x→)时的无穷大 记为 当x→x0 (或x→)时为无穷大的函数f(x) 按函数极限 定义来说 极限是不存在的 但为了便于叙述函数的这一 性态 我们也说“函数的极限是无穷大” ❖无穷大的定义 = → lim ( ) 0 f x x x (或 = → lim f (x) x ) 下页

无穷大 今无穷大的定义 如果当x>x0(或x→>∞)时,对应的函数值的绝对值(x) 无限增大,那么称函数f(x)为x>x0(或x>∞)时的无穷大, 记为 imf(x)=∞(或imf(x)=∞) x→)x x→00 讨论 无穷大的精确定义如何叙述?很大很大的数是否是 无穷大? 提示 imf(x)=∞VM0,38>0,当04x-x小M x→x 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 •讨论 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是 无穷大? •提示 = → lim ( ) 0 f x x x M0 d 0 当0|x−x0 |d 时有|f(x)|M 下页 二、 无穷大 如果当x→x0 (或x→)时 对应的函数值的绝对值|f(x)| 无限增大 那么称函数f(x)为x→x0 (或x→)时的无穷大 记为 ❖无穷大的定义 = → lim ( ) 0 f x x x (或 = → lim f (x) x )

无穷大 今无穷大的定义 如果当x>x0(或x→>∞)时,对应的函数值的绝对值(x) 无限增大,那么称函数f(x)为x>x0(或x>∞)时的无穷大, 记为 imf(x)=∞(或imf(x)=∞) x→)x x→00 正无穷大与负无穷大 f(x)=+∞,limf(x)=-00 x→>x x→ (x->∞ 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 •正无穷大与负无穷大 =+ → → lim ( ) ( ) 0 f x x x x  =− → → lim ( ) ( ) 0 f x x x x  下页 二、 无穷大 如果当x→x0 (或x→)时 对应的函数值的绝对值|f(x)| 无限增大 那么称函数f(x)为x→x0 (或x→)时的无穷大 记为 ❖无穷大的定义 = → lim ( ) 0 f x x x (或 = → lim f (x) x )

例2证明lim I x 证因为vM>0,彐δ= 当0x0 的铅直渐近线 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖铅直渐近线 1 1 − = x y 1 的铅直渐近线 如果 = → lim ( ) 0 f x x x  则称直线 0 x= x 是函数 y=f(x)的图形 下页 例 例 2 2 证明 = → −1 1 lim x 1 x  证 证 因为M0  M 1 d =  当0|x−1|d 时 有 M x  − | 1 1 |  所以 = → −1 1 lim x 1 x  铅直渐近线

今定理2(无穷大与无穷小之间的关系) 在自变量的同一变化过程中,如果f(x)为无穷大, 则为无穷小;反之,如果(x)为无穷小,且(x)≠0, 则为无穷大 定理2让明百贝 上页返回 下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理2(无穷大与无穷小之间的关系) 定理2证明 结束 在自变量的同一变化过程中 如果f(x)为无穷大 则 ( ) 1 f x 为无穷大 则 ( ) 1 f x 为无穷小 反之 如果 f(x)为无穷小 且 f(x)0