《高等数学》课程教学资源：第三章 微分中值定理与导数的应用（3.1）中值定理

§3.1中值定理 、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 自贝

一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 §3.1 中值定理 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、罗尔定理 观察与思考 设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标 相等 提问 f(=? y 提示 C y=(x) f(=0 A B O 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、罗尔定理 设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标 相等 提问： f (x)= ? •观察与思考 提示： f (x)=0 下页

今罗尔定理 如果函数y=fx)在闭区间[a,b上连续,在开区间(a,b) 内可导,且有(a)=(b),那么至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f"(=0 简要证明: (1)若f(x)是常函数,则f(x)=0,定理的结论显然是成 立的 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0 简要证明 (1)若f(x)是常函数 则f (x)0 定理的结论显然是成 立的 下页

今罗尔定理 如果函数y=fx)在闭区间[a,b上连续,在开区间(a,b) 内可导,且有fa)=(b),那么至少存在一点ξ∈(an,b),使得 f"(=0 简要证明 (2)若八(x)不是常函数,则f(x)在(a,b)内至少有一个最 大值点或最小值点,不妨设有一最大值点∈(a,b).于是 f(=f(=lim f(x)-f(2) 0 x→ f(2)=r(=mf∞)-1(5)0, 5 因此必有f(2)=0 页返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim  − −  =  = → − − x x x x x x f x f f f x  (2)若f(x)不是常函数 则f(x)在(a b)内至少有一个最 大值点或最小值点 不妨设有一最大值点x(a b) 于是 因此必有f (x)=0 下页 简要证明  0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim  − −  =  = → + + x x x x x x f x f f f x  0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim  − −  =  = → − − x x x x x x f x f f f x  0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim  − −  =  = → + + x x x x x x f x f f f x  ❖罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0

今罗尔定理 如果函数y=fx)在闭区间[a,b上连续,在开区间(a,b) 内可导,且有f(a)=(b),那么至少存在一点∈(a,b),使得 f"(=0 应注意的问题: 如果定理的三个条件有一个不满足,则定理的结论 有可能不成立 (→)端点的值不等 (x)=x a,b]=[0,1 f(x)=1≠0 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足 则定理的结论 有可能不成立 下页 ❖罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0

二)非谢区间连续 00 f(x)=不存在x=0 <0 自贝 页返回 下页结束 铃

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二、拉格朗日中值定理 观察与思考 设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不 相等 提问: 直线AB的斜率k=?f(5= 提示 直线AB的斜率 B f()-f(a b-a A f'(5) f(b)-f(a b x 上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、拉格朗日中值定理 •观察与思考 设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不 相等 提问： 直线AB的斜率k=? f (x)=? 提示： 下页 f (x)= b a f b f a − ( )− ( )  k= b a f b f a − ( )− ( )  直线AB的斜率

今拉格朗日中值定理 如果函数(x)在闭区间[a,b上连续,在开区间(a,b)内 可导,那么在(a,b)内至少有一点,使得 f(b)(a)=f(2)(b-a) y=f(a+ fb)-fa (x-a) r9=I()-f 直线AB的斜率 f()-f(a y=f(r b-a f()=f(b)-f(a) 3 0|a 上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)−f(a)=f (x)(b−a) ❖拉格朗日中值定理 下页 f (x)= b a f b f a − ( )− ( )  k= b a f b f a − ( )− ( )  直线AB的斜率

今拉格朗日中值定理 如果函数(x)在闭区间[a,b上连续,在开区间(a,b)内 可导,那么在(a,b)内至少有一点,使得 f(b)(a)=f(2)(b-a) 简要证明令(x)=f(x)f(a f(b-f(a x-a b 则函数o(x)在区间[a,b上满足罗尔定理的条件, 于是至少存在一点ξ∈(a,b),使(2)=0,即 q'(x)=f(x) f(b)-f(a b-a 由此得 f(b)f(a)=f'(2(b-a) 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 则函数j(x)在区间[a b]上满足罗尔定理的条件 于是至少存在一点x(a b) 使j (x)=0 即 简要证明 由此得 f(b)−f(a)=f (x)(b−a) 令 j(x)=f(x)−f(a)− b a f b f a − ( )− ( ) (x−a) j (x)=f (x)− b a f b f a − ( )− ( )  下页 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)−f(a)=f (x)(b−a) ❖拉格朗日中值定理

今拉格朗日中值定理 如果函数(x)在闭区间[a,b上连续,在开区间(a,b)内 可导,那么在(a,b)内至少有一点,使得 f(b)f(a)=f(5)(b-a) 拉格朗日中值公式 fb)fa(s(b-a) f(x+△x)f(x)=f'(x+x)x(0<6<1) △y=f(x+Ax)△x(0<6<1) dy=f(x)Ax是函数增量y的近似表达式 ∫(x+θ△x)Ax是函数增量Δy的精确表达式 首页上页返回结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 f(b)−f(a)=f (x)(b−a) f(x+Dx)−f(x)=f (x+qDx)Dx (0<q <1) Dy=f (x+qDx)Dx (0<q <1) •拉格朗日中值公式 下页 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内 可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)−f(a)=f (x)(b−a) ❖拉格朗日中值定理 注： dy=f (x)Dx是函数增量Dy的近似表达式 f (x+qDx)Dx是函数增量Dy 的精确表达式