《高等数学》课程教学资源：第六章 定积分的应用（6.3）定积分在物理学上的应用

§63定积分在物理学上的应用 、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力 自

一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力 §6.3 定积分在物理学上的应用 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、变力沿直线所作的功 例1电量为+q的点电荷位于轴的坐标原点O处,它所产 生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b(a<b) 处,求电场力对单位正电荷所作的功 解在r轴上,当单位正电荷从r移动到r+b时, 电场力对它所作的功近似为k9bh, +1 rr+dr b 提示: 根据物理学,在电量为+q的点电荷所产生的电场中,距离 点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为 F=k(k是常数 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 电场力对它所作的功近似为 dr r q k 2  一、变力沿直线所作的功 例1 电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处 它所产 生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b(a<b) 处 求电场力对单位正电荷所作的功. 解 在 r 轴上 当单位正电荷从 r 移动到 r+dr 时 提示： 根据物理学 在电量为+q的点电荷所产生的电场中 距离 点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为 2 r q F =k (k 是常数). 下页

、变力沿直线所作的功 例1电量为+q的点电荷位于轴的坐标原点O处,它所产 生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b(a<b) 处,求电场力对单位正电荷所作的功 解在r轴上,当单位正电荷从r移动到r+b时, 电场力对它所作的功近似为k9bh, 即功元素为dW=kdr +1 rr+dr b 于是所求的功为 =[=k-1=-k 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 即功元素为 dr r q dW k 2 = . 于是所求的功为 下页 一、变力沿直线所作的功 例1 电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处 它所产 生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b(a<b) 处 求电场力对单位正电荷所作的功. 解 在 r 轴上 当单位正电荷从 r 移动到 r+dr 时 电场力对它所作的功近似为 dr r q k 2  ) 1 1 ] ( 1 [ 2 a b kq r dr kq r kq W b a b a = = − = −  ) . 1 1 ] ( 1 [ 2 a b k q r dr k q r k q W b a b a = = − = − 

例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体.在 等温条件下,由于气体的膨胀,把容器中的一个活塞从点a处 推移到点b处.计算在移动过程中,气体压力所作的功 解在点x处,因为V=xS, 所以作用在活塞上的力为 F - p S xx+dx b 提 由物理学知道,一定量的气体在等温条件下,压强p与体 积的乘积是常数k,即 p=k或 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 x k S xS k F = pS =  = . 例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在 等温条件下 由于气体的膨胀 把容器中的一个活塞从点a处 推移到点b处. 计算在移动过程中 气体压力所作的功. 解 所以作用在活塞上的力为 在点x处 因为V=xS x k S xS k F = pS =  = . 提示： 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强p与体 积V的乘积是常数k  即 pV=k 或 V k p= . 下页

例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体.在 等温条件下,由于气体的膨胀,把容器中的一个活塞从点a处 推移到点b处.计算在移动过程中,气体压力所作的功 解在点x处,因为V=xS, 所以作用在活塞上的力为 F - p S xx+dx b 当活塞从x移动到x+kx时,变力所作的功近似为ax, 即功元素为aW=kx 于是所求的功为 b w=Mdx=k(Inx]b=kIn ax C 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 于是所求的功为 下页 例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在 等温条件下 由于气体的膨胀 把容器中的一个活塞从点a处 推移到点b处. 计算在移动过程中 气体压力所作的功. 解 在点x处 因为V=xS x k S xS k F = pS =  = . x k S xS k F = pS =  = . 当活塞从 x 移动到 x+dx 时 变力所作的功近似为 dx x k  即功元素为 dx x k dW = . a b dx k x k x k W b a b a = = [ln ] = ln  . a b dx k x k x k W b a b a = = [ln ] = ln  . 所以作用在活塞上的力为

例3一圆柱形的贮水桶高为5m,底圆半径为3m,桶内盛满 了水.试问要把桶内的水全部吸出需作多少功? 解作x轴如图 在区间0,5上点x处任取一薄层水,其的高度为dx 因为这薄层水的重力为98m32dx, 所以把这薄层水吸出桶外所需作的功 近似为 dW=9.8732:xdx=8822x.5m x+dx 此即功元素.于是所求的功为 W=88.rdx =882xB=882.25( 自 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 因为这薄层水的重力为9.83 2dx 例3 一圆柱形的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶内盛满 了水. 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？ 在区间[0 5]上点x处任取一薄层水,其的高度为dx. 解 作x轴如图. 此即功元素. dW= 9.83 2 xdx 所以把这薄层水吸出桶外所需作的功 近似为 =88.2xdx 于是所求的功为 首页 = 5 0 W 88.2xdx 2 25 ] 88.2 2 88.2 [ 5 0 2 =  =   x (kj)

二、水压力 例4一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水.设桶的 底半径为R,水的比重为y,计算桶的一个端面上所受的压力 解取坐标系如图 在水深x处于圆片上取一窄条,其宽为dx 得压力元素为dP=2xR2-x2d 桶的一个端面上所受的压力为 R P=2y XvR2-x dx 台(R2-x2)216=2R2 景知 自 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃  = − R P x R x dx 0 2 2 2 二、水压力 例4 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水. 设桶的 底半径为R 水的比重为 计算桶的一个端面上所受的压力. 解 取坐标系如图. 在水深x处于圆片上取一窄条其宽为dx 桶的一个端面上所受的压力为 背景知识 首页 得压力元素为dP x R x dx 2 2 = 2 − . 3 0 2 3 2 2 3 2 ( ) ] 3 2 [ R r R x R =− − =

引 例5求长度为1、线密度为的均匀细直棒对其中垂线上 距棒a单位的质量为m的质点M的引力 解取坐标系如图由对称性知, y+dy 引力在垂直方向上的分量为零 M 在y点处取长为dv的一小段, dE=g mody G a2+12 y√a2+y (a2+y2)32 是引力在水平方向的分量为F=G amodv gMp (a2+y2)2 应用微积分计算出王星运轨迹,禁后指导天 文学家发现它,是应用微分取得功的型乾例 人称海王星是微分算出来的颗恒星 当然,要用微积分解实际题,比你用做 分去解颗,要难些,需要如下技 1选择一个适当的坐标系 揉盒的梨分量,和用元素法给出 景知识首页 返回

首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、引力 例5 求长度为l、线密度为的均匀细直棒对其中垂线上 距棒a单位的质量为m的质点M的引力. 解 取坐标系如图. 引力在垂直方向上的分量为零. 在y点处取长为dy的一小段 于是引力在水平方向的分量为 由对称性知 2 2 2 2 a y a a y m dy dFx G + −  + =  2 2 3/2 (a y ) am dy G + =−  .  − + =− 2 2 2 2 3/2 ( ) l x l a y am dy F G  2 2 4 2 1 a a l Gm l + =−   .  − + =− 2 2 2 2 3/2 ( ) l x l a y am dy F G  2 2 4 2 1 a a l Gm l + =−   . 背景知识 结束