《高等数学》课程教学资源：第三章 微分中值定理与导数的应用（3.7）曲率

§3.7曲率 、弧微分 二、曲率及其计算公式 、曲率圆与曲率半径 曲线的弯曲线程度 与哪些因素有关.怎样 度量曲线的弯曲程度? 自贝

一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 §3.7 曲率 曲线的弯曲线程度 与哪些因素有关. 怎样 度量曲线的弯曲程度？ 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、弧微分 曲线的基点与正向 设函数(x)在区间(a,b)内具有连续导数在曲线y=(x) 上取固定点Mxo,yo)作为度量弧长的基点,并规定依x增 大的方向作为曲线的正向 ro 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、弧微分 •曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数. 在曲线y=f(x) 上取固定点M0 (x0  y0 )作为度量弧长的基点 并规定依 x 增 大的方向作为曲线的正向. 下页

、弧微分 有向弧段M0M的值 对曲线上任一点M(x,y),规定有向弧段的值s(简称 弧)如下:s的绝对值等于这弧段的长度,当有向弧段MM 的方向与曲线的正向一致时s>0,相反时s0 co 上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 s0 •有向弧段 M0M 的值 ( 对曲线上任一点 M(x y) 规定有向弧段的值 s (简称 弧)如下 s 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段M0M ( 的方向与曲线的正向一致时s>0 相反时s<0. 显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 s=s(x). 下页 一、弧微分

今弧微分公式 设x,x+△x为(a,b)内两个邻近的点,它们在曲线y=f(x) 上的对应点为M,N,并设对应于x的增量Ax,弧s的增量 为△s.因为当Ax->0时,As~M,又Ax与As同号,所以 △S=m √(Ax)2+(△y)2 △ dxAx=0△x△x>0|x imn11+()2 由此得弧微分公式: △ ds=√+y2ax Mo do x+△x 首页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖弧微分公式 设x x+Dx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线y=f(x) 上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量 为Ds. 因为当Dx→0时 Ds ~ MN 又Dx与Ds同号 所以 由此得弧微分公式 2 0 2 2 0 0 lim 1 ( ) | | ( ) ( ) lim lim x y x x y x s dx ds x x x D D = + D D + D = D D = D → D → D → 1 2 = + y  . ds y dx 1 2 = +  . 2 0 2 2 0 0 lim 1 ( ) | | ( ) ( ) lim lim x y x x y x s dx ds x x x D D = + D D + D = D D = D → D → D → 2 0 2 2 0 0 lim 1 ( ) | | ( ) ( ) lim lim x y x x y x s dx ds x x x D D = + D D + D = D D = D → D → D → 首页

二、曲率及其计算公式 观察与思考: 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关.怎样衡量 曲线的弯曲程度? 提示 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度 M M2 M3 上页返回页 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、曲率及其计算公式 提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度. 下页 观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样衡量 曲线的弯曲程度？

今曲率 设曲线C是光滑的,曲线上 点M对应于弧s,在点M处切线的 倾角为α,曲线上另外一点N对 应于弧s+As,在点N处切线的倾 )a/a+△a 角为a+△a 平均曲率: 记K=2,称K为弧段MN的平均曲率 △s 曲率: 记K=lim △ 称K为曲线C在点M处的曲率 △s→>0△s 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 记 s K s D D = D →  0 lim  称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率. 记 s K D D =   称 K 为弧段 MN 的平均曲率. 平均曲率： 曲率： 下页 ❖曲率 设曲线C是光滑的 曲线上 点M对应于弧s 在点M处切线的 倾角为 曲线上另外一点N对 应于弧s+Ds 在点N处切线的倾 角为+D

今曲率的计算公式 在mAa=g存在的条件下,K=a △s→>0△s ds 曲率: 记K=lim △ 称K为曲线C在点M处的曲率 △s→>0△s 首页页返回页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 曲率： ❖曲率的计算公式 在 0 lim Ds→ Ds D = ds d 存在的条件下 ds d K  = . 记 s K s D D = D →  0 lim  称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率

今曲率的计算公式 在 lin△ada 存在的条件下,K= △s->0△sds ds 设曲线C的方程为y=(x),且(x)具有二阶导数 因为tana=y,所以 sec -ad ay ax, da=noc dx dx= 1+tana 1+y 又知ds=l+y2ax,从而得曲率的计算公式 K d ds(1+y/2)32 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设曲线C的方程为y=f(x) 且f(x)具有二阶导数. 因为tan =y 所以 sec 2d=ydx 在 0 lim Ds→ Ds D = ds d 存在的条件下 ds d K  = . 又知 ds= 1 2 + y  dx 从而得曲率的计算公式 2 3 2 (1 ) | | y y ds d K +   = =  . dx y y dx y dx y d 2 2 1 2 sec 1 tan +   = +  =  =    dx . y y dx y dx y d 2 2 1 2 sec 1 tan +   = +  =  =    dx . y y dx y dx y d 2 2 1 2 sec 1 tan +   = +  =  =    . 下页 ❖曲率的计算公式

曲率的计算公式:K 1+12)32 例1计算等边双曲线x=1在点(1,1)处的曲率 解由y=1,得 X xX 因此y=1=-1,y"=1=2.曲线在点(1,1)处的曲率为 K 2 (1+y2)2(1+(-1)2)y2√2 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 3 2 (1 ) | | y y ds d K +   = =  . 例1 计算等边双曲线xy=1在点(1 1)处的曲率. 曲率的计算公式： 因此y| x=1=−1 y| x=1=2. 曲线在点(1 1)处的曲率为 解 由 x y 1 =  得 2 1 x y  =−  3 2 x y  = . 2 3 2 (1 ) | | y y K +   = 2 3 2 (1 ( 1) ) 2 + − = 2 2 2 1 = = . 解 2 1 x y  =−  3 2 x y  = . 2 3 2 (1 ) | | y y K +   = 2 3 2 (1 ( 1) ) 2 + − = 2 2 2 1 = = . 2 3 2 (1 ) | | y y K +   = 2 3 2 (1 ( 1) ) 2 + − = 2 2 2 1 = = . 下页

曲率的计算公式:K s(1+y2)y 例2抛物线y=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大? 解由y=ax2+bx+c,得 y=2ax+b, y=2a, 代入曲率公式,得 K 12a +(2ax+b)22 显然,当2ax+b=0时曲率最大 曲率最大时,xb,对应的点为抛物线的顶点 2a 因此,抛物线在顶点处的曲率最大,此处K=2a 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 抛物线y=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大？ 解 由y=ax2+bx+c 得 y=2ax+b y=2a 代入曲率公式 得 显然 当2ax+b=0时曲率最大. 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K=|2a|. 2 3 2 [1 (2 ) ] |2 | ax b a K + + = . 曲率最大时 x=− a b 2  对应的点为抛物线的顶点. 下页 2 3 2 (1 ) | | y y ds d K +   = =  曲率的计算公式：